(가)닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)가 c∈[a,b]인 어떤 c와 x∈[a,b]를 만족하는 모든 x에 대하여 부등식 f(x)≤f(c)를 만족하면, 이 구간에서 함수 f(x)는 최댓값 f(c)를 갖는다.역으로 닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 최댓값이 f(c) (c∈[a,b])라고 하면, x∈[a,b]인 모든 x에 대하여 부등식 f(x)≤f(c)이 성립한다.
(나)(최대·최소 정리) 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면, f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
(2-1)f(x)=x4−2x2일 때, 닫힌구간 [a,b]의 부분집합{c∈[a,b]∣모든x∈[a,b]에대하여, f(c)≥f(x)}의 원소의 개수가 3이다. a,b의 값을 구하시오. [10점]
(2-2)f(x)=sin(x2)에 대하여 2πn을 포함하는 닫힌구간 [a,b] 중에서 부분집합{c∈[a,b]∣모든x∈[a,b]에대하여, f(c)≥f(x)}의 원소의 개수가 3이고 b−a의 값이 최소인 것을 [an,bn]이라고 하자. (단, n=1,2,⋯.)bn−an<5π인 가장 작은 자연수 n의 값을 구하시오. [10점]
(2-3)양수 α에 대하여 함수 g(x)는 다음 조건을 만족한다.
(i)g(x)는 닫힌구간 [0,1]에서 연속인 함수이다.(ii)모든 x∈[0,1]에 대하여 0≤g(x)≤1이다.(iii)모든 x∈[0,1]와 모든 t∈[0,1]에 대하여 sin(αx+g(x))≥sin(αx+t)이다.
(a)α=2일 때 g(4π)의 값을 구하시오. [5점](b)위 조건을 만족하는 함수 g(x)가 존재하도록 하는 양수 α의 값 중에서 가장 큰 값을 구하시오. [10점]
해설강의 준비중
인하대 2021학년도 모의 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2021mo/uiye_2
+5점 · 함수 f(x)의 그래프의 개형을 파악하면
(2-1) f′(x)=4x(x−1)(x+1)이므로, f(x)는 x=0에서 극댓값 0, x=±1에서 극솟값 −1을 갖고, 함수 f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
+5점 · 주어진 조건을 만족하는 닫힌구간을 구하면
f(x)−f(0)=x2(x2−2)이므로, f(x)=f(0)의 0이 아닌 근은 ±2이다.따라서 닫힌구간 [a,b]는 [−2,2]와 같다.
+4점 · 수열 an과 bn의 일반항의 식을 n으로 나타내면
(2-2) an=2nπ−23π, bn=2nπ+25π이므로,
+6점 · 부등식을 이용하여 조건을 만족하는 n의 값을 구하면
부등식 bn−an<5π은 2n+2.5+2n−1.5>20과 동치이다.n=50이면, 102.5+98.5>(10+0.1)+(10−0.1)=20이고,n=49이면, 100.5+96.5<(10+0.1)+(10−0.1)=20이므로 n=50이 조건을 만족하는 가장 작은 자연수이다.
(2-3)
+5점 · 사인함수의 그래프의 개형 등을 이용해서 g(4π)의 값을 구하면
(a) 함수 f(t)=sin(t+24π)=sin(t+2π)의 구간 [0,1]에서의 t=0일 때 최댓값 f(g(4π))를 갖는다. 따라서 g(4π)=0이다.
+6점 · α의 값과 x의 범위에 따라 g(x)의 범위에 따른 식 또는 개형을 파악하면
(b) 0≤x≤1일 때, 함수 f(t)=sin(t+αx)의 구간 [0,1]에서의 최댓값 f(g(x))는 함수 h(t)=f(t−αx)=sint의 구간 [αx,αx+1]에서의 최댓값 sin(g(x)+αx)와 같다.αx+1<2π이면, g(x)+αx=αx+1 즉 g(x)=1.αx≤2π≤αx+1이면, g(x)+αx=2π 즉 g(x)=−αx+2π.2π<αx<23π−21이면, g(x)+αx=αx 즉 g(x)=0.그런데, αx=23π−21이면, g(x)+αx=23π−21 또는 g(x)+αx=23π+21, 즉 g(x)=0 또는 1이고,23π−21<αx<2π이면, g(x)+αx=αx+1 즉 g(x)=1이어야 한다.
+4점 · 조건을 만족하는 α의 범위를 구하면
따라서 g(x)가 [0,1]에서 연속이려면 α≤23π−21이어야 하므로 α의 값 중에서 가장 큰 값은 23π−21이다.
수리논술, 이게 다다.