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의예과 1번

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인하대 2021학년도 모의 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2021mo/uiye_1

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[문항 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (점과 직선사이의 거리) 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 사이의 거리는∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(나) (접선의 방정식) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))\displaystyle P(a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^\prime(a)(x-a)

(다) (합성함수의 미분법) 미분가능한 두 함수 y=f(u),u=g(x)\displaystyle y=f(u),u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는dydx=dydu×dudx\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx} 또는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^\prime=f^\prime(g(x))g^\prime(x)

(※) 아래 그림과 같이 곡선 y=e−x\displaystyle y=e^{-x} 위의 점 P(t,e−t)\displaystyle P(t,e^{-t})에서 접선 ℓ\displaystyle \ell이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 T\displaystyle T라 하고 P\displaystyle P에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 Q\displaystyle Q라고 하자. 이때 P\displaystyle P를 지나고 x\displaystyle x축과 ℓ\displaystyle \ell에 동시에 접하는 원 C\displaystyle C의 중심을 F\displaystyle F, 반지름을 r(t)\displaystyle r(t)라 하고 Q\displaystyle Q에서 접선 ℓ\displaystyle \ell까지의 거리를 d(t)\displaystyle d(t)라 하자.

지수함수의 접선과 x축에 접하는 원 C

(1-1) r(a)d(a)=1\displaystyle r(a)d(a)=1을 만족하는 a\displaystyle a의 값을 구하시오. [10점]

(1-2) 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)가f(x3)=x2(r(x)+1d(x))sin⁡(πx)\displaystyle f(x^3)=x^2\left(r(x)+\frac1{d(x)}\right)\sin(\pi x)를 만족할 때, f′(0)\displaystyle f^\prime(0)의 값을 구하시오. [10점]

(1-3) 점T\displaystyle T를 지나고 y\displaystyle y축에 평행인 직선, 선분 PT\displaystyle PT, 곡선 y=e−x\displaystyle y=e^{-x} 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t), 삼각형 PFT\displaystyle PFT의 넓이를 A(t)\displaystyle A(t)이라 할 때, lim⁡t→∞A(t)S(t)\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{A(t)}{S(t)}의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

인하대 2021학년도 모의 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2021mo/uiye_1

+3점 · r(a)=ea+e−a−1+e2a\displaystyle r(a)=e^a+e^{-a}-\sqrt{1+e^{2a}}를 구하면

(1-1) 제시문 (나)에 의해 P\displaystyle P에서의 접선의 방정식이 y=−e−t(x−t)+e−t\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^{-t} 이므로 T\displaystyle T의 좌표는 (t+1,0)\displaystyle (t+1,0)이다.원 C\displaystyle C의 중심 F\displaystyle F의 좌표를 (xt,yt)\displaystyle (x_t,y_t)라 하면 xt,yt\displaystyle x_t,y_t는 다음과 같이 구할 수 있다.(i) F\displaystyle F가 ℓ\displaystyle \ell과 수직이고 P\displaystyle P를 지나는 직선위에 있으므로 yt=et(xt−t)+e−t\displaystyle y_t=e^t(x_t-t)+e^{-t} 이다.(ii) T\displaystyle T에서 원 C\displaystyle C의 두 접점까지의 거리가 같으므로 t+1−xt=1+e−2t\displaystyle t+1-x_t=\sqrt{1+e^{-2t}} 이다.그러므로 xt=t+1−1+e−2t\displaystyle x_t=t+1-\sqrt{1+e^{-2t}}, r(t)=yt=et+e−t−et1+e−2t=et+e−t−1+e2t\displaystyle r(t)=y_t=e^t+e^{-t}-e^t\sqrt{1+e^{-2t}}=e^t+e^{-t}-\sqrt{1+e^{2t}}이고

+3점 · d(a)=11+e2a\displaystyle d(a)=\frac1{\sqrt{1+e^{2a}}}를 구하면

제시문 (가)에 의해 Q\displaystyle Q에서 접선 y=−e−t(x−t)+e−t\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^{-t} 까지의 거리 d(t)=11+e2t\displaystyle d(t)=\frac1{\sqrt{1+e^{2t}}}이다.

+4점 · a=−12ln⁡3\displaystyle a=-\frac12\ln3를 구하면

따라서 r(a)d(a)=1⇒ea+e−a−1+e2a=1+e2a⇒ea+e−a=21+e2a\displaystyle r(a)d(a)=1\Rightarrow e^a+e^{-a}-\sqrt{1+e^{2a}}=\sqrt{1+e^{2a}}\Rightarrow e^a+e^{-a}=2\sqrt{1+e^{2a}}u=ea\displaystyle u=e^a로 치환하고 양변을 제곱하여 정리하면 (u2+1)(3u2−1)=0\displaystyle (u^2+1)(3u^2-1)=0이고 u>0\displaystyle u>0이므로 u=13\displaystyle u=\frac1{\sqrt3}이다.따라서, a=−12ln⁡3\displaystyle a=-\frac12\ln3이다.

+5점 · 도함수 f′(x3)\displaystyle f^\prime(x^3)를 구하면

(1-2) r(x)+1d(x)=ex+e−x\displaystyle r(x)+\frac1{d(x)}=e^x+e^{-x}이고 양변을 미분하면ddxf(x3)=ddx{x2(r(x)+1d(x))sin⁡(πx)}=ddx{x2(ex+e−x)sin⁡(πx)}\displaystyle \frac{d}{dx}f(x^3)=\frac{d}{dx}\left\{x^2\left(r(x)+\frac1{d(x)}\right)\sin(\pi x)\right\}=\frac{d}{dx}\{x^2(e^x+e^{-x})\sin(\pi x)\}이고 제시문 (다)에 의해3x2f′(x3)=2x(ex+e−x)sin⁡(πx)+x2(ex−e−x)sin⁡(πx)+πx2(ex+e−x)cos⁡(πx)\displaystyle 3x^2f^\prime(x^3)=2x(e^x+e^{-x})\sin(\pi x)+x^2(e^x-e^{-x})\sin(\pi x)+\pi x^2(e^x+e^{-x})\cos(\pi x)이다. 따라서 x≠0\displaystyle x\ne0일 때f′(x3)=2(ex+e−x)3sin⁡(πx)x+ex−e−x3sin⁡(πx)+π3(ex+e−x)cos⁡(πx)\displaystyle f^\prime(x^3)=\frac{2(e^x+e^{-x})}3\frac{\sin(\pi x)}x+\frac{e^x-e^{-x}}3\sin(\pi x)+\frac\pi3(e^x+e^{-x})\cos(\pi x)

+5점 · f′(0)\displaystyle f^\prime(0)를 구하면

이고 f′(x)\displaystyle f^\prime(x)가 x=0\displaystyle x=0에서 연속이므로 f′(0)=lim⁡x→0f′(x3)=43π+0+23π=2π\displaystyle f^\prime(0)=\lim_{x\to0}f^\prime(x^3)=\frac43\pi+0+\frac23\pi=2\pi이다.

+3점 · S(t)\displaystyle S(t)를 구하면

(1-3) T\displaystyle T의 좌표가 (t+1,0)\displaystyle (t+1,0)이고 삼각형 PQT\displaystyle PQT의 넓이가 12e−t\displaystyle \frac12e^{-t}이므로S(t)=∫tt+1e−xdx−12e−t=[−e−x]tt+1−12e−t=e−t(12−1e)=e−22ee−t\displaystyle S(t)=\int_t^{t+1}e^{-x}dx-\frac12e^{-t}=\Biggl[-e^{-x}\Biggr]_t^{t+1}-\frac12e^{-t}=e^{-t}\left(\frac12-\frac1e\right)=\frac{e-2}{2e}e^{-t}이다.

+2점 · A(t)\displaystyle A(t)를 구하면

한편 삼각형 PFT\displaystyle PFT의 넓이 A(t)=121+e−2t(et+e−t−1+e2t)\displaystyle A(t)=\frac12\sqrt{1+e^{-2t}}\left(e^t+e^{-t}-\sqrt{1+e^{2t}}\right)이다.

+5점 · lim⁡t→∞A(t)S(t)\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{A(t)}{S(t)}를 구하면

따라서 lim⁡t→∞A(t)S(t)=ee−2lim⁡t→∞1+e−2t(et+e−t−1+e2t)e−t=ee−2lim⁡t→∞(1+e2t)(1+e2t−et)et=ee−2lim⁡t→∞1+e2tet(1+e2t+et)=ee−2lim⁡t→∞1+e2tet1+e2t+e2t=ee−2lim⁡t→∞1e2t+11e2t+1+1=e2(e−2)\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}\frac{A(t)}{S(t)}&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{1+e^{-2t}}(e^t+e^{-t}-\sqrt{1+e^{2t}})}{e^{-t}}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{(1+e^{2t})(\sqrt{1+e^{2t}}-e^t)}{e^t}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{1+e^{2t}}{e^t(\sqrt{1+e^{2t}}+e^t)}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{1+e^{2t}}{e^t\sqrt{1+e^{2t}}+e^{2t}}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{\frac1{e^{2t}}+1}{\sqrt{\frac1{e^{2t}}+1}+1}\\&=\frac{e}{2(e-2)}\end{aligned}

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