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인하대 2026학년도 모의 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2026mo/uiye_1

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[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (삼각함수의 도함수) y=tan⁡x\displaystyle y=\tan x이면 y′=sec⁡2x\displaystyle y^{\prime}=\sec^{2}x

(나) (정적분의 치환적분법) 미분가능한 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 포함하는 열린구간에서 연속이고, g(a)=α\displaystyle g(a)=\alpha, g(b)=β\displaystyle g(b)=\beta에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때∫abf(g(x))g′(x)dx=∫αβf(t)dt\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(t)dt

(다) (탄젠트함수의 덧셈정리)tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β,tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\quad\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

(※) 함수 f(θ)\displaystyle f(\theta)를 닫힌구간 [0,π4]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{4}\right]에서 다음과 같이 정의하자.f(θ)=1cos⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)}

(1-1) 정적분 ∫0π4f(θ)dθ\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}f(\theta)d\theta의 값을 구하시오. [10점]

(1-2) 닫힌구간 [0,π4]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{4}\right]에 속하는 모든 θ\displaystyle \theta에 대해서, f(θ)=f(π4−θ)\displaystyle f(\theta)=f\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)가 성립함을 보이시오. [10점]

(1-3) 정적분 ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx\displaystyle \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}dx의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

인하대 2026학년도 모의 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2026mo/uiye_1

+5점 · 주어진 함수 f(θ)\displaystyle f(\theta)를 적분가능한 형태로 변형하면

(3-1) f(θ)\displaystyle f(\theta)의 분모와 분자를 cos⁡2θ\displaystyle \cos^{2}\theta로 나누면 f(θ)=1/cos⁡2θ1+sin⁡θ/cos⁡θ=sec⁡2θ1+tan⁡θ\displaystyle f(\theta)=\frac{1/\cos^{2}\theta}{1+\sin\theta/\cos\theta}=\frac{\sec^{2}\theta}{1+\tan\theta}가 된다.

+5점 · 주어진 정적분의 값을 올바르게 구하면

따라서 제시문 (가)에 의하여 ∫0π4f(θ)dθ=∫0π4sec⁡2θ1+tan⁡θdθ=[ln⁡∣1+tan⁡θ∣]0π4=ln⁡2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}f(\theta)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sec^{2}\theta}{1+\tan\theta}d\theta=\Biggl[\ln|1+\tan\theta|\Biggr]_0^{\frac{\pi}{4}}=\ln2이다.

+3점 · 삼각함수의 덧셈정리를 사용하면

(3-2) F(θ)=ln⁡(1+tan⁡θ)\displaystyle F(\theta)=\ln(1+\tan\theta)라고 하면, 제시문 (다)에 의하여F(π4−θ)=ln⁡(1+1−tan⁡θ1+tan⁡θ)=ln⁡(21+tan⁡θ)=ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡θ)=ln⁡2−F(θ)\displaystyle F\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=\ln\left(1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)=\ln\left(\frac{2}{1+\tan\theta}\right)=\ln2-\ln(1+\tan\theta)=\ln2-F(\theta)이다.

+7점 · 주어진 항등식을 올바르게 증명하면

여기서 양변을 θ\displaystyle \theta에 대해 미분하면 f(π4−θ)=f(θ)\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=f(\theta)이다.

+2점 · x=tan⁡θ\displaystyle x=\tan\theta로 치환하면
+3점 · ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx=∫0π4ln⁡(1+tan⁡θ)dθ\displaystyle \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\theta)d\theta임을 보이면
+5점 · ∫0π4ln⁡(1+tan⁡θ)dθ\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\theta)d\theta의 값을 올바르게 구하면

(3-3) 주어진 정적분에서 변수를 x=tan⁡θ\displaystyle x=\tan\theta로 치환하면, 제시문 (나)에 의하여∫01ln⁡(1+x)1+x2dx=∫0π4ln⁡(1+tan⁡θ)1+tan⁡2θsec⁡2θdθ=∫0π4ln⁡(1+tan⁡θ)dθ\displaystyle \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\ln(1+\tan\theta)}{1+\tan^{2}\theta}\sec^{2}\theta d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\theta)d\theta이다. 여기서 F(θ)=ln⁡(1+tan⁡θ)\displaystyle F(\theta)=\ln(1+\tan\theta)라고 하면∫0π4F(θ)dθ=∫0π4F(π4−θ)dθ=∫0π4(ln⁡2−F(θ))dθ=π4ln⁡2−∫0π4F(θ)dθ\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}F(\theta)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}F\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\ln2-F(\theta))d\theta=\frac{\pi}{4}\ln2-\int_0^{\frac{\pi}{4}}F(\theta)d\theta이므로 ∫0π4F(θ)dθ=π8ln⁡2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}F(\theta)d\theta=\frac{\pi}{8}\ln2이다.

(3-3) 풀이는 맞았는데 사소한 계산 실수가 있는 경우 최대 3점 감점

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