수리논술, 이게 다다.

의예과 2번

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인하대 2026학년도 모의 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2026mo/uiye_2

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[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (접선의 방정식) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 x\displaystyle x의 값이 a\displaystyle a보다 크면서 a\displaystyle a에 한없이 가까워질 때, f(x)\displaystyle f(x)의 값이 일정한 값 M\displaystyle M에 한없이 가까워지면 M\displaystyle M을 x=a\displaystyle x=a에서의 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 우극한이라고 하며, 기호로 lim⁡x→a+f(x)=M\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=M과 같이 나타낸다. x\displaystyle x의 값이 a\displaystyle a보다 작으면서 a\displaystyle a에 한없이 가까워질 때, f(x)\displaystyle f(x)의 값이 일정한 값 L\displaystyle L에 한없이 가까워지면 L\displaystyle L을 x=a\displaystyle x=a에서의 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 좌극한이라고 하며, 이것을 기호로 lim⁡x→a−f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=L과 같이 나타낸다.

(※) 양의 실수 a\displaystyle a와 실수 k (1<k<16)\displaystyle k\ (1<k<16)에 대하여 닫힌구간 [1,16]\displaystyle [1,16]에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)가f(x)={−(x−1)(x−k)(1≤x≤k)−a(x−k)(x−16)(k≤x≤16)\displaystyle f(x)=\begin{cases}-(x-1)(x-k)&(1\le x\le k)\\-a(x-k)(x-16)&(k\le x\le16)\end{cases}라 하자. 양의 실수 t\displaystyle t에 대하여 g(t)\displaystyle g(t)는 y=tx\displaystyle y=tx와 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 교점의 개수라 하자.

(2-1) 원점을 지나며 곡선 y=−(x−1)(x−k)(x>0)\displaystyle y=-(x-1)(x-k)\quad(x>0)에 접하는 직선의 방정식을 구하시오. [10점]

(2-2) a=14\displaystyle a=\frac{1}{4}, k=3\displaystyle k=3일 때, g(t)=3\displaystyle g(t)=3인 t\displaystyle t의 값을 구하시오. [10점]

(2-3) 다음 조건을 만족하는 양의 유리수 a\displaystyle a와 자연수 k (1<k<16)\displaystyle k\ (1<k<16)의 순서쌍 (a,k)\displaystyle (a,k)를 모두 구하시오. [15점]

lim⁡t→s+g(t)=0\displaystyle \lim_{t\to s^+}g(t)=0, lim⁡t→s−g(t)=4\displaystyle \lim_{t\to s^-}g(t)=4인 양의 실수 s\displaystyle s가 존재한다.

해설강의 준비중

인하대 2026학년도 모의 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2026mo/uiye_2

+3점 · 곡선 y=−(x−1)(x−k)\displaystyle y=-(x-1)(x-k) 위의 점 (t,−(t−1)(t−k))\displaystyle (t,-(t-1)(t-k))에서의 접선의 기울기를 구하면

(2-1) 제시문 (가)에 의하여 곡선 위의 점 (t,−(t−1)(t−k))\displaystyle (t,-(t-1)(t-k))에서 접선의 방정식은y=−(2t−k−1)(x−t)−(t−1)(t−k)\displaystyle y=-(2t-k-1)(x-t)-(t-1)(t-k)이다.

+7점 · 접선의 방정식을 구하면

이 직선이 원점을 지날 때는 t2=k\displaystyle t^{2}=k, 즉 t=k\displaystyle t=\sqrt{k}이다.그러므로 문제의 조건을 만족하는 직선의 방정식은 y=(k+1−2k)x\displaystyle y=(k+1-2\sqrt{k})x이다.

+3점 · 직선 y=tx\displaystyle y=tx가 두 곡선 y=−(x−1)(x−3)\displaystyle y=-(x-1)(x-3), y=−14(x−3)(x−16)\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16) 중 하나에 접해야 한다는 것을 보이면

(2-2) 직선과 이차함수의 관계는 만나지 않는 경우, 접하는 경우, 두 점에서 만나는 경우뿐이다. 따라서 g(t)=3\displaystyle g(t)=3이기 위해서 y=tx\displaystyle y=tx는 곡선 y=−(x−1)(x−3)\displaystyle y=-(x-1)(x-3)에 접하고 y=−14(x−3)(x−16)\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16)과 두 점에서 만나거나 곡선 y=−(x−1)(x−3)\displaystyle y=-(x-1)(x-3)과 두 점에서 만나고 y=−14(x−3)(x−16)\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16)에 접해야 한다.

+4점 · 두 곡선에 접하는 직선의 방정식을 각각 구하면

곡선 y=−(x−1)(x−3)\displaystyle y=-(x-1)(x-3)에 접하는 경우, t=4−23\displaystyle t=4-2\sqrt{3}이고 곡선 y=−14(x−3)(x−16)\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16)에 접하는 경우 t=194−23\displaystyle t=\frac{19}{4}-2\sqrt{3}이다.

+3점 · 두 직선 중 y=(4−23)x\displaystyle y=(4-2\sqrt{3})x만 답이 될 수 있다는 것을 보이면

그런데 후자의 경우 직선 y=tx\displaystyle y=tx는 곡선 y=−(x−1)(x−3)\displaystyle y=-(x-1)(x-3)과 만나지 않는다. 따라서 t=4−23\displaystyle t=4-2\sqrt{3}이다.

두 포물선과 원점을 지나는 두 접선
+5점 · 직선 y=tx\displaystyle y=tx가 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 두 점에서 접해야 한다는 것을 보이면

(2-3) lim⁡t→s+g(t)=0\displaystyle \lim_{t\to s^+}g(t)=0에서 t>s\displaystyle t>s이면 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=tx\displaystyle y=tx의 교점이 없다는 것을 알 수 있다. 한편, lim⁡t→s−g(t)=4\displaystyle \lim_{t\to s^-}g(t)=4이므로 s\displaystyle s보다 작지만 s\displaystyle s에 가까운 실수 t\displaystyle t에 대하여 직선 y=tx\displaystyle y=tx와 곡선 y=−(x−1)(x−k)\displaystyle y=-(x-1)(x-k), y=−a(x−k)(x−16)\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)의 교점의 개수는 각각 2\displaystyle 2개라는 것을 알 수 있다. 즉, 곡선 y=sx\displaystyle y=sx는 두 곡선 y=−(x−1)(x−k)\displaystyle y=-(x-1)(x-k)와 y=−a(x−k)(x−16)\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)에 모두 접한다.

두 포물선에 공통으로 접하는 직선
+5점 · y=tx\displaystyle y=tx가 두 곡선 y=−(x−1)(x−k)\displaystyle y=-(x-1)(x-k), y=−a(x−k)(x−16)\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)에 접하는 t\displaystyle t의 값을 각각 구하면

곡선 y=−(x−1)(x−k)\displaystyle y=-(x-1)(x-k)에 접할 때, t=(k+1)−2k\displaystyle t=(k+1)-2\sqrt{k}이고 곡선 y=−a(x−k)(x−16)\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)에 접할 때 t=a(k+16−8k)\displaystyle t=a(k+16-8\sqrt{k})이다.

+5점 · 가능한 a\displaystyle a와 k\displaystyle k의 값을 모두 구하면

두 값이 같아야 하므로 a=k+1−2kk+16−8k\displaystyle a=\frac{k+1-2\sqrt{k}}{k+16-8\sqrt{k}}를 만족해야 한다. a\displaystyle a가 유리수이므로 k+1−2kk+16−8k\displaystyle \frac{k+1-2\sqrt{k}}{k+16-8\sqrt{k}}의 값이 유리수가 되는 k\displaystyle k를 모두 찾으면 된다. 분모와 분자에 모두 k+16+8k\displaystyle k+16+8\sqrt{k}를 곱하여 유리화를 하면 분자는 (k+1−2k)(k+16+8k)=(k+1)(k+16)−16k+(6k−24)k\displaystyle (k+1-2\sqrt{k})(k+16+8\sqrt{k})=(k+1)(k+16)-16k+(6k-24)\sqrt{k}가 된다. 즉, (6k−24)k\displaystyle (6k-24)\sqrt{k}가 유리수가 되어야 한다. 이러한 k\displaystyle k는 4\displaystyle 4와 9\displaystyle 9뿐이다. 그리고 이때 a\displaystyle a는 각각 14\displaystyle \frac{1}{4}과 4\displaystyle 4이다. 그러므로 답은 (14,4)\displaystyle \left(\frac{1}{4},4\right), (4,9)\displaystyle (4,9)이다.

(2-1) 풀이는 맞았는데 사소한 계산 실수가 있는 경우 최대 3점 감점

(2-2) 풀이는 맞았는데 사소한 계산 실수가 있는 경우 최대 3점 감점

(2-3) 풀이는 맞았는데 사소한 계산 실수가 있는 경우 최대 3점 감점

a\displaystyle a와 k\displaystyle k를 구하는 과정에 설명이 미흡하면 최대 2점 감점

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