의예과 2번

(2-1) 제시문 (가)에 의하여 곡선 위의 점 $\displaystyle (t,-(t-1)(t-k))$에서 접선의 방정식은$\displaystyle y=-(2t-k-1)(x-t)-(t-1)(t-k)$이다. 이 직선이 원점을 지날 때는 $\displaystyle t^{2}=k$, 즉 $\displaystyle t=\sqrt{k}$이다.그러므로 문제의 조건을 만족하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=(k+1-2\sqrt{k})x$이다.

(2-2) 직선과 이차함수의 관계는 만나지 않는 경우, 접하는 경우, 두 점에서 만나는 경우뿐이다. 따라서 $\displaystyle g(t)=3$이기 위해서 $\displaystyle y=tx$는 곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-3)$에 접하고 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16)$과 두 점에서 만나거나 곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-3)$과 두 점에서 만나고 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16)$에 접해야 한다.곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-3)$에 접하는 경우, $\displaystyle t=4-2\sqrt{3}$이고 곡선 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x-3)(x-16)$에 접하는 경우 $\displaystyle t=\frac{19}{4}-2\sqrt{3}$이다. 그런데 후자의 경우 직선 $\displaystyle y=tx$는 곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-3)$과 만나지 않는다. 따라서 $\displaystyle t=4-2\sqrt{3}$이다.

(2-3) $\displaystyle \lim_{t\to s^+}g(t)=0$에서 $\displaystyle t>s$이면 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=tx$의 교점이 없다는 것을 알 수 있다. 한편, $\displaystyle \lim_{t\to s^-}g(t)=4$이므로 $\displaystyle s$보다 작지만 $\displaystyle s$에 가까운 실수 $\displaystyle t$에 대하여 직선 $\displaystyle y=tx$와 곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-k)$, $\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)$의 교점의 개수는 각각 $\displaystyle 2$개라는 것을 알 수 있다. 즉, 곡선 $\displaystyle y=sx$는 두 곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-k)$와 $\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)$에 모두 접한다.

곡선 $\displaystyle y=-(x-1)(x-k)$에 접할 때, $\displaystyle t=(k+1)-2\sqrt{k}$이고 곡선 $\displaystyle y=-a(x-k)(x-16)$에 접할 때 $\displaystyle t=a(k+16-8\sqrt{k})$이다. 두 값이 같아야 하므로 $\displaystyle a=\frac{k+1-2\sqrt{k}}{k+16-8\sqrt{k}}$를 만족해야 한다. $\displaystyle a$가 유리수이므로 $\displaystyle \frac{k+1-2\sqrt{k}}{k+16-8\sqrt{k}}$의 값이 유리수가 되는 $\displaystyle k$를 모두 찾으면 된다. 분모와 분자에 모두 $\displaystyle k+16+8\sqrt{k}$를 곱하여 유리화를 하면 분자는 $\displaystyle (k+1-2\sqrt{k})(k+16+8\sqrt{k})=(k+1)(k+16)-16k+(6k-24)\sqrt{k}$가 된다. 즉, $\displaystyle (6k-24)\sqrt{k}$가 유리수가 되어야 한다. 이러한 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 4$와 $\displaystyle 9$뿐이다. 그리고 이때 $\displaystyle a$는 각각 $\displaystyle \frac{1}{4}$과 $\displaystyle 4$이다. 그러므로 답은 $\displaystyle \left(\frac{1}{4},4\right)$, $\displaystyle (4,9)$이다.