자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle f(\theta)$의 분모와 분자를 $\displaystyle \cos^{2}\theta$로 나누면 $\displaystyle f(\theta)=\frac{1/\cos^{2}\theta}{1+\sin\theta/\cos\theta}=\frac{\sec^{2}\theta}{1+\tan\theta}$가 된다. 따라서 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}f(\theta)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sec^{2}\theta}{1+\tan\theta}d\theta=\Biggl[\ln|1+\tan\theta|\Biggr]_0^{\frac{\pi}{4}}=\ln2$이다.

(3-2) $\displaystyle F(\theta)=\ln(1+\tan\theta)$라고 하면, 제시문 (다)에 의하여$\displaystyle F\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=\ln\left(1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)=\ln\left(\frac{2}{1+\tan\theta}\right)=\ln2-\ln(1+\tan\theta)=\ln2-F(\theta)$이다. 여기서 양변을 $\displaystyle \theta$에 대해 미분하면 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=f(\theta)$이다.

(3-3) 주어진 정적분에서 변수를 $\displaystyle x=\tan\theta$로 치환하면, 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\ln(1+\tan\theta)}{1+\tan^{2}\theta}\sec^{2}\theta d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\theta)d\theta$이다. 여기서 $\displaystyle F(\theta)=\ln(1+\tan\theta)$라고 하면$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}F(\theta)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}F\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\ln2-F(\theta))d\theta=\frac{\pi}{4}\ln2-\int_0^{\frac{\pi}{4}}F(\theta)d\theta$이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}F(\theta)d\theta=\frac{\pi}{8}\ln2$이다.