이학계열 1번

가) 수학의 함수와 미분 개념은 자연과학뿐만 아니라 스포츠 레저, 공학, 기업 경영 등 우리 생활의 여러 분야에서 유용하게 쓰인다. 열기구는 열을 가할 때 생기는 공기의 부력을 이용한다. 일반적으로 기체의 온도를 높이면 부피는 증가하고 온도를 낮추면 부피는 감소한다. 기체의 부피가 한없이 0에 가까워지게 하려면 온도를 어느 정도 낮추어야 하는가에 대한 수학적 표현이 함수의 극한이다. 또한 지구와 달의 운동은 함수의 연속성을 이용하여 분석할 수 있으며 그 결과를 이용하여 일식이나 월식을 예측할 수 있다. 우주선이 지구로 귀환할 때 궤도 분석에 미분 개념이 활용되며, 기업에서 최대 이윤을 얻기 위한 생산량을 결정할 때도 미분 개념은 중요한 도구로 사용된다.

나) 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle x=c$에 함수 값이 존재하고 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)$가 존재하며, $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=f(c)$이 성립할 때, 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 ‘연속’이라 한다.Comment. 제시문 나)의 조건은 한 점 $\displaystyle x=c$에서의 연속 조건이다. 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 전체에서 연속이려면 모든 내부 점에서 연속이고, $\displaystyle a$에서는 오른쪽 극한, $\displaystyle b$에서는 왼쪽 극한이 각각 함수값과 같아야 한다.

다) $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{df}{dx}=f^{\prime}(x)$을 함수 $\displaystyle f(x)$의 미분계수라 한다. 이 미분계수가 구간 $\displaystyle [a,b]$의 모든 실수 값에서 존재할 때, 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 ‘미분 가능’이라 한다.

라) 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분 가능하고 $\displaystyle x=c$에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$이다. 그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$인 조건만으로 극솟값, 극댓값을 판정할 수 없다. 따라서 두 번 미분한 $\displaystyle \frac{d^2f}{dx^2}=f^{\prime\prime}(x)$값의 부호를 조사할 필요가 있다.

① $\displaystyle f^{\prime\prime}(c)>0$이면 $\displaystyle x=c$에서 극솟값 $\displaystyle f(c)$를 갖는다.

② $\displaystyle f^{\prime\prime}(c)<0$이면 $\displaystyle x=c$에서 극댓값 $\displaystyle f(c)$를 갖는다.