이학계열 2번

총소요시간은 무인기를 이용한 운송시간 + 다른 운송수단 이용시간이고 무인기를 이용한 운송시간은 무인기 운항이 가능한 수요지 수 × 30분.다른 운송시간은 10km를 초과하는 곳부터 적용되므로 수요지당 최소한 10km×10분으로 100분을 초과하는 시간이 소요되므로 되도록 무인기 이용이 많도록 위치를 정하는 것이 중요하다. → 제시문에 나와 있는 내용이므로 첫 번째 문제의 풀이방법에 나타나야 하는 사항.이때 ⑤⑥⑦은 무인기로 담당할 수 있는 수요지가 2군데 이므로 3군데인 나머지에 비해 시간 소요가 많이 되므로 제외 시킨다.따라서 가능한 후보지는 ①②③④⑧인데 이때 무인기를 이용한 운송 소요시간은 30분×3=90분이고 다른 운송수단을 이용한 시간은 각 후보지 마다 다르게 계산된다.

①: 수요지 1, 2, 6: 무인기 이용수요지 3, 4, 5: 다른 운송수단 이용수요지 3까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt5$수요지 4까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt{10}$수요지 5까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt{10}$무인기 외 운송 소요 시간 = $\displaystyle 10\times(5\sqrt5+10\sqrt{10})=428.03$

②: 수요지 1, 2, 6: 무인기 이용수요지 3, 4, 5: 다른 운송수단 이용수요지 3까지의 거리 = $\displaystyle 10\sqrt2$수요지 4까지의 거리 = $\displaystyle 15$수요지 5까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt{10}$무인기 외 운송 소요 시간 = $\displaystyle 10\times(10\sqrt2+15+5\sqrt{10})=449.55$

③: 수요지 1, 2, 3: 무인기 이용수요지 4, 5, 6: 다른 운송수단 이용수요지 4까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt5$수요지 5까지의 거리 = $\displaystyle 15$수요지 6까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt5$무인기 외 운송 소요 시간 = $\displaystyle 10\times(10\sqrt5+15)=373.61$

④: 수요지 4, 5, 6: 무인기 이용수요지 1, 2, 3: 다른 운송수단 이용수요지 1까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt5$수요지 2까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt5$수요지 3까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt5$무인기 외 운송 소요 시간 = $\displaystyle 10\times(15\sqrt5)=335.41$

⑧: 수요지 4, 5, 6: 무인기 이용수요지 1, 2, 3: 다른 운송수단 이용수요지 1까지의 거리 = $\displaystyle 15$수요지 2까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt{13}$수요지 3까지의 거리 = $\displaystyle 5\sqrt{13}$무인기 외 운송 소요 시간 = $\displaystyle 10\times(15+10\sqrt{13})=510.56$

①~④까지의 시간 비교는 ④<③<①<②<⑧따라서 위치는 ④일 때 최소의 시간 $\displaystyle 30\times3+10\times(15\sqrt5)$

무인기가 A, B, C일 사건을 각각 A, B, C라고 하고 배송 실패할 확률을 E라고 하면$\displaystyle P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E)$$\displaystyle =P(A)\cdot P(E\mid A)+P(B)\cdot(E\mid B)+P(C)\cdot P(E\mid C)$$\displaystyle =\frac49\times\frac3{100}+\frac39\times\frac4{100}+\frac29\times\frac5{100}=\frac{34}{900}$$\displaystyle \therefore P(B\mid E)=\frac{P(B\cap E)}{P(E)}=\frac{\frac{12}{900}}{\frac{34}{900}}=\frac6{17}$Correction. 첫 풀이의 $\displaystyle (E\mid B)$ 앞에는 $\displaystyle P$가 빠져 있다. 두 번째 풀이의 교집합 확률은 $\displaystyle P(E)$가 아니라 $\displaystyle P(B)$에 $\displaystyle P(E\mid B)$를 곱해야 한다. 세 번째 풀이 분모의 $\displaystyle 4/1000$은 $\displaystyle 4/100$의 오기이다. 세 풀이의 최종 답 $\displaystyle 6/17$은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

A, B, C를 이용할 때 임무 성공률이 가장 높은 무인기를 선택하여 임무를 맡긴다.제시문 마)를 이용하라는 지시문이 있으므로 다른 정보는 이용하지 않는다.임무성공을 위해서는 10km까지, 즉 왕복 거리 20km 이상 비행해야 함.

이때 A의 1회 평균이동거리와 표준편차를 이용해 성공 가능 확률을 계산하면,$\displaystyle P(X\geq20)=P\left(\frac{X-m}{\sigma}\geq\frac{20-21.6}{1.0}\right)=P(Z\geq-1.6)=0.945$

B의 성공확률은$\displaystyle P(X\geq20)=P\left(\frac{X-m}{\sigma}\geq\frac{20-20.9}{0.5}\right)=P(Z\geq-1.8)=0.964$

C 성공확률 확률은$\displaystyle P(X\geq20)=P\left(\frac{X-m}{\sigma}\geq\frac{20-23.0}{2.0}\right)=P(Z\geq-1.5)=0.933$

성공 가능성이 가장 높은 B를 선택하는 것이 정답

수명 확률밀도 함수를 0부터 10까지 적분하면 1이 나오므로$\displaystyle f(t)=k\left(\frac{t}{10}-1\right)^2,\ 0\leq t\leq10$ ($\displaystyle k$는 상수) (4-1)$\displaystyle \to\int_0^{10}k\left(\frac{t}{10}-1\right)^2dt=1$$\displaystyle \to\left|\frac{10k}{3}\left(\frac{t}{10}-1\right)^3\right|_0^{10}=\frac{10k}{3}=1,\ k=\frac3{10}$ (4-2)

따라서 수명의 확률밀도 함수는$\displaystyle f(t)=\frac3{10}\left(\frac{t}{10}-1\right)^2,\ (0\leq t\leq10)$ (4-3)

이 되고 1년까지 사용했으므로 잔여수명이 5년이상일 확률은 이 무인기의 수명이 6년 이상일 확률과 같으므로 조건부 확률을 이용하여 $\displaystyle P(t\geq6\mid t\geq1)$을 구하면 됨.$\displaystyle P(t\geq6\mid t\geq1)=\frac{P(t\geq6)}{P(t\geq1)}$ (4-4)

$\displaystyle P(t\geq6)=\int_6^{10}\frac3{10}\left(\frac{t}{10}-1\right)^2dt=\left|\left(\frac{t}{10}-1\right)^3\right|_6^{10}=\frac{64}{1000}$ (4-5)$\displaystyle P(t\geq1)=\int_1^{10}\frac3{10}\left(\frac{t}{10}-1\right)^2dt=\left|\left(\frac{t}{10}-1\right)^3\right|_1^{10}=\frac{729}{1000}$ (4-5)

따라서 $\displaystyle \frac{P(t\geq6)}{P(t\geq1)}=\frac{\frac{64}{1000}}{\frac{729}{1000}}=\frac{64}{729}$, 약 0.088