공학계열 2번

문제에서 주어진 변환 $\displaystyle f$에 의해 그림의 세 점 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (0,2)$, $\displaystyle (2,0)$은 각각 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (2,2)$, $\displaystyle (4,2)$로 옮겨진다. 따라서 옮긴 후 생기는 도형은 아래 그림과 같다.

원뿔의 부피는 $\displaystyle \frac13\pi r^2h$($\displaystyle r$은 원뿔 밑면적의 반지름, $\displaystyle h$는 원뿔의 높이), 원기둥의 부피는 $\displaystyle \pi r^2h$($\displaystyle r$은 원기둥 밑면의 반지름, $\displaystyle h$는 원기둥의 높이) 이므로, 원뿔 ①과 원기둥②, 원뿔 ③의 부피를 구하면 다음과 같다.원뿔 ①의 부피 = $\displaystyle \frac13\pi(2)^2 2=\frac83\pi$, 원기둥 ②의 부피 = $\displaystyle \pi(2)^2 2=8\pi$, 원뿔 ③의 부피 = $\displaystyle \frac13\pi(2)^2 4=\frac{16}{3}\pi$회전체의 부피를 구하기 위해 원뿔 ①의 부피와 원기둥②의 부피의 합에서 원뿔 ③의 부피를 빼면,회전체의 부피$\displaystyle =\frac83\pi+8\pi-\frac{16}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi$ ($\displaystyle 5.333\pi,\ 5.333\times3.14=16.746$도 정답)

문제에서 제시된 첫 번째 고려사항 $\displaystyle \overline{PF^{\prime}}+\overline{PF}\leq4$는 타원의 내부를 의미한다. 초점이 $\displaystyle (1,0)$, $\displaystyle (-1,0)$이므로 타원의 방정식에서 $\displaystyle c=1$이고, 거리의 합이 4이므로 $\displaystyle a=2$이다. 또한, $\displaystyle b^2=a^2-c^2$이므로 $\displaystyle b^2=3$이다. 따라서 타원의 내부를 나타내는 식은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}\leq1$

따라서 공공도서관의 위치 $\displaystyle P(x,y)$의 $\displaystyle x$범위를 타원식과 직선식을 이용하여 구하면,$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{(x/2)^2}{3}\leq1$$\displaystyle x^2\leq3$$\displaystyle -\sqrt3\leq x\leq\sqrt3$

직선의 벡터 방정식을 이용하여 위치벡터 $\displaystyle \vec{OP}$와 $\displaystyle \vec{OQ}$의 성분을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \vec{OP}=\vec{OA}+s\vec{u}_A=(s,2s,5-s)$$\displaystyle \vec{OQ}=\vec{OB}+t\vec{u}_B=(-1+2t,1+t,t)$두 벡터로부터 벡터 $\displaystyle \vec{PQ}$의 성분을 구하면,$\displaystyle \vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=(-1-s+2t,1-2s+t,-5+s+t)$

두 직선에 모두 수직인 벡터 $\displaystyle \vec{PQ}$는 방향벡터 $\displaystyle \vec{u}_A$, $\displaystyle \vec{u}_B$와의 내적을 이용해서 구할 수 있다. 두 벡터가 수직일 때 두 벡터의 내적은 0이므로,$\displaystyle \vec{PQ}\cdot\vec{u}_A=6-6s+3t=0$$\displaystyle \vec{PQ}\cdot\vec{u}_B=-6-3s+6t=0$위의 두 식을 연립하여 $\displaystyle s,t$를 구하면,$\displaystyle s=2,\ t=2$

위에서 구한 $\displaystyle s,t$를 통해 두 직선에 모두 수직인 $\displaystyle \vec{PQ}$의 성분을 구하면,$\displaystyle \vec{PQ}=(1,-1,-1)$두 직선 사이의 최단거리는 벡터 $\displaystyle \vec{PQ}$의 크기이므로, $\displaystyle \sqrt3$이다.