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공학계열 2번

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한국항공대 2015학년도 수시 공학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2015su/gonghak_2

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문제

【문제 2】 (40점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

가) 좌표평면 위의 점 P(x,y)\displaystyle P(x,y)를 P′(x′,y′)\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})로 대응시키는 함수를 변환이라 한다. 이러한 변환은 복잡한 곡선 또는 곡면으로 이루어진 도형의 면적 또는 부피를 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한 공학 분야에서 구조물의 무게 중심, 모멘트 중심 등을 효과적으로 계산하기 위해 사용된다.

나) 공공 및 편의 시설의 위치를 결정하기 위해 비용 대 편익을 분석하는 예비타당성 조사를 실시할 수 있다. 비용 대 편익 분석은 목표 달성에 가장 효과적인 정책을 찾기 위한 분석 기법으로 공공 및 편의시설과 관련된 비용과 편익을 모두 금전적 가치로 환산한 다음, 비교 평가하여 가장 합리적인 의사결정을 내리기 위해 활용된다.

다) 항공기는 3차원 공간에서 이동한다는 점에서 자동차, 철도, 선박 등과 같은 다른 운송 수단과 다르다. 또한 항공기는 정해진 도로, 또는 궤도가 아닌 3차원 공간을 자유롭게 이동할 수 있는데, 이로 인해 비행 중인 항공기가 다른 항공기에 접근하여 공중 충돌의 가능성이 있는 ‘근접비행사고’가 발생할 수 있다. 실제로 지난 8월 일본 나리타 공항에 착륙하기 위해 고도를 낮추고 있던 항공기와 이륙 직후 고도를 높이고 있던 항공기가 478m까지 근접비행하는 사건이 발생하기도 하였다. ‘근접비행사고’를 막기 위해서 항공기들이 지나가는 경로의 예측을 통해 근접비행의 가능성을 경고하는 공학적 장치가 사용되고 있다. 이러한 장치를 이용하여 항공기들이 지나가는 경로들 간의 최단 거리를 계산할 수 있다. 두 직선 사이의 최단 거리는 두 직선에 모두 수직인 선분의 길이이다.

[문제 2-1] 좌표평면 위의 점 (x,y)\displaystyle (x,y)을 점 (x′,y′)\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})에 대응시키는 변환 f\displaystyle f는 다음과 같다.

(x′y′)=(2111)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

변환 f\displaystyle f에 의해 아래 그림과 같은 도형을 옮겼을 때 생기는 도형을 x\displaystyle x축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하시오.

변환 전 삼각형

[문제 2-2] 아래 그림과 같은 좌표평면에서 공공도서관의 위치 P(x,y)\displaystyle P(x,y)의 x\displaystyle x범위를 다음 두 가지 사항을 고려하여 결정하시오.

(1) A주택단지는 점 F′(−1,0)\displaystyle F^{\prime}(-1,0), B주택단지는 점 F(1,0)\displaystyle F(1,0)에 위치하고 있다. 주택단지들에 대한 공공도서관의 편익 측면을 고려하면 공공도서관과 A주택단지 사이의 거리 PF′‾\displaystyle \overline{PF^{\prime}}와 공공도서관과 B주택단지 사이의 거리인 PF‾\displaystyle \overline{PF}의 합이 4이하가 되어야 한다. 즉 PF′‾+PF‾≤4\displaystyle \overline{PF^{\prime}}+\overline{PF}\leq4이다.

(2) 공공도서관의 위치는 비용 측면을 고려하면 직선식 y=x2\displaystyle y=\frac{x}{2}로 나타낼 수 있는 도로 위에 있어야 한다.(단, 공공도서관, 주택단지의 면적과 도로의 폭은 생각하지 않는다.)

공공도서관과 주택단지 및 도로

[문제 2-3] 3차원 좌표공간에서 아래 그림과 같이 두 대의 항공기가 비행하고 있다. M항공기는 점 A(0,0,5)\displaystyle A(0,0,5)를 지나고, 방향벡터가 u⃗A=(1,2,−1)\displaystyle \vec{u}_A=(1,2,-1)인 직선 위를 비행하고 있고, N항공기는 점 B(−1,1,0)\displaystyle B(-1,1,0)를 지나고, 방향벡터가 u⃗B=(2,1,1)\displaystyle \vec{u}_B=(2,1,1)인 직선 위를 비행하고 있다. 두 직선의 벡터방정식을 이용하여, 각 직선 위 임의의 두 점 P\displaystyle P와 Q\displaystyle Q사이를 연결하는 벡터 PQ⃗\displaystyle \vec{PQ}의 성분을 구하고, 그 결과와 제시문 다)를 이용하여 두 항공기의 경로인 직선들 사이의 최단 거리를 구하시오.

두 항공기의 경로와 두 점 P, Q
해설강의 준비중

한국항공대 2015학년도 수시 공학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2015su/gonghak_2

[문제 2-1]

+4점

문제에서 주어진 변환 f\displaystyle f에 의해 그림의 세 점 (0,0)\displaystyle (0,0), (0,2)\displaystyle (0,2), (2,0)\displaystyle (2,0)은 각각 (0,0)\displaystyle (0,0), (2,2)\displaystyle (2,2), (4,2)\displaystyle (4,2)로 옮겨진다. 따라서 옮긴 후 생기는 도형은 아래 그림과 같다.

변환 후 삼각형

위의 도형을 x\displaystyle x축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체는 아래 그림과 같다.

원뿔과 원기둥으로 분해한 회전체
+8점

원뿔의 부피는 13πr2h\displaystyle \frac13\pi r^2h(r\displaystyle r은 원뿔 밑면적의 반지름, h\displaystyle h는 원뿔의 높이), 원기둥의 부피는 πr2h\displaystyle \pi r^2h(r\displaystyle r은 원기둥 밑면의 반지름, h\displaystyle h는 원기둥의 높이) 이므로, 원뿔 ①과 원기둥②, 원뿔 ③의 부피를 구하면 다음과 같다.원뿔 ①의 부피 = 13π(2)22=83π\displaystyle \frac13\pi(2)^2 2=\frac83\pi, 원기둥 ②의 부피 = π(2)22=8π\displaystyle \pi(2)^2 2=8\pi, 원뿔 ③의 부피 = 13π(2)24=163π\displaystyle \frac13\pi(2)^2 4=\frac{16}{3}\pi회전체의 부피를 구하기 위해 원뿔 ①의 부피와 원기둥②의 부피의 합에서 원뿔 ③의 부피를 빼면,회전체의 부피=83π+8π−163π=163π\displaystyle =\frac83\pi+8\pi-\frac{16}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi (5.333π, 5.333×3.14=16.746\displaystyle 5.333\pi,\ 5.333\times3.14=16.746도 정답)

[문제 2-2]

+5점

문제에서 제시된 첫 번째 고려사항 PF′‾+PF‾≤4\displaystyle \overline{PF^{\prime}}+\overline{PF}\leq4는 타원의 내부를 의미한다. 초점이 (1,0)\displaystyle (1,0), (−1,0)\displaystyle (-1,0)이므로 타원의 방정식에서 c=1\displaystyle c=1이고, 거리의 합이 4이므로 a=2\displaystyle a=2이다. 또한, b2=a2−c2\displaystyle b^2=a^2-c^2이므로 b2=3\displaystyle b^2=3이다. 따라서 타원의 내부를 나타내는 식은 다음과 같다.x24+y23≤1\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}\leq1

두 가지 고려사항을 모두 만족하는 P(x,y)\displaystyle P(x,y)의 위치는 아래 그림과 같이 타원 내부의 직선이다.

타원의 내부와 직선의 교집합
+7점

따라서 공공도서관의 위치 P(x,y)\displaystyle P(x,y)의 x\displaystyle x범위를 타원식과 직선식을 이용하여 구하면,x24+(x/2)23≤1\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{(x/2)^2}{3}\leq1x2≤3\displaystyle x^2\leq3−3≤x≤3\displaystyle -\sqrt3\leq x\leq\sqrt3

[문제 2-3]

+5점

직선의 벡터 방정식을 이용하여 위치벡터 OP⃗\displaystyle \vec{OP}와 OQ⃗\displaystyle \vec{OQ}의 성분을 구하면 다음과 같다.OP⃗=OA⃗+su⃗A=(s,2s,5−s)\displaystyle \vec{OP}=\vec{OA}+s\vec{u}_A=(s,2s,5-s)OQ⃗=OB⃗+tu⃗B=(−1+2t,1+t,t)\displaystyle \vec{OQ}=\vec{OB}+t\vec{u}_B=(-1+2t,1+t,t)두 벡터로부터 벡터 PQ⃗\displaystyle \vec{PQ}의 성분을 구하면,PQ⃗=OQ⃗−OP⃗=(−1−s+2t,1−2s+t,−5+s+t)\displaystyle \vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=(-1-s+2t,1-2s+t,-5+s+t)

제시문 다)에서 주어진 대로 두 직선 사이의 최단거리는 두 직선에 모두 수직인 선분의 길이이다.

+3점

두 직선에 모두 수직인 벡터 PQ⃗\displaystyle \vec{PQ}는 방향벡터 u⃗A\displaystyle \vec{u}_A, u⃗B\displaystyle \vec{u}_B와의 내적을 이용해서 구할 수 있다. 두 벡터가 수직일 때 두 벡터의 내적은 0이므로,PQ⃗⋅u⃗A=6−6s+3t=0\displaystyle \vec{PQ}\cdot\vec{u}_A=6-6s+3t=0PQ⃗⋅u⃗B=−6−3s+6t=0\displaystyle \vec{PQ}\cdot\vec{u}_B=-6-3s+6t=0위의 두 식을 연립하여 s,t\displaystyle s,t를 구하면,s=2, t=2\displaystyle s=2,\ t=2

+8점

위에서 구한 s,t\displaystyle s,t를 통해 두 직선에 모두 수직인 PQ⃗\displaystyle \vec{PQ}의 성분을 구하면,PQ⃗=(1,−1,−1)\displaystyle \vec{PQ}=(1,-1,-1)두 직선 사이의 최단거리는 벡터 PQ⃗\displaystyle \vec{PQ}의 크기이므로, 3\displaystyle \sqrt3이다.

[문제 2-1] 회전체 부피 계산을 위해 적분을 이용해도 인정

[문제 2-2] 3=1.7321\displaystyle \sqrt3=1.7321이므로 −1.7321≤x≤1.7321\displaystyle -1.7321\leq x\leq1.7321도 정답

[문제 2-2] 범위를 정확히 안 쓰고 3\displaystyle \sqrt3만 쓰면 7점 중 4점 감점

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