공학계열 1-2번

한국항공대 2024학년도 수시 공학계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/gonghak_1_2

나) 로그는 다음의 성질이 성립한다. $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle a\ne1$ , $\displaystyle M>0$ , $\displaystyle N>0$ 일 때,(1) $\displaystyle \log_a MN=\log_a M+\log_a N$ (2) $\displaystyle \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$

라) 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ $\displaystyle (a\ne0)$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라고 하면, $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}$

[문제 1-2] $\displaystyle 1$ 보다 큰 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle 4^x-2^{x+1}+1-\frac{1}{k^2}=0$ 의 두 실근을 $\displaystyle \alpha_k$ , $\displaystyle \beta_k$ 라 하자. $\displaystyle N=\sum_{k=2}^{2024}(\alpha_k+\beta_k)$ 일 때, $\displaystyle 2^N$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2024학년도 수시 공학계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/gonghak_1_2

+1점 · 주어진 방정식의 형태를 보고 지수를 치환할 수 있다.

$\displaystyle y=2^x$ 라고 하자.

+2점 · 치환된 이차방정식의 근을 구할 수 있다.

방정식은 $\displaystyle y^2-2y+1-\frac{1}{k^2}=0$ 과 같다.이 식을 인수분해하면 $\displaystyle \left\{y-\left(1-\frac{1}{k}\right)\right\}\left\{y-\left(1+\frac{1}{k}\right)\right\}=0$ 이므로 $\displaystyle y=1\pm\frac{1}{k}$ 가 된다.

+2점 · 로그를 적용하여 원래 방정식의 근을 구할 수 있다.

즉, $\displaystyle 2^x=1\pm\frac{1}{k}$ 이므로, $\displaystyle x=\log_2\left(1\pm\frac{1}{k}\right)$ 이다.

+2점 · 두 근의 합을 로그의 성질을 이용하여 구할 수 있다.

주어진 $\displaystyle k$ 에 대해서 두 근의 합 $\displaystyle \alpha_k+\beta_k$ 는 $\displaystyle \log_2\left(1+\frac{1}{k}\right)+\log_2\left(1-\frac{1}{k}\right)=\log_2\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\log_2\left\{\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}\right\}$ 과 같다.

+2점 · 로그함수의 성질을 이용하여서 주어진 합을 구할 수 있다.

따라서 합은 $\displaystyle N=\log_2\left(\frac{1\cdot3}{2^2}\right)+\log_2\left(\frac{2\cdot4}{3^2}\right)+\cdots+\log_2\left(\frac{2022\cdot2024}{2023^2}\right)+\log_2\left(\frac{2023\cdot2025}{2024^2}\right)=\log_2\left(\frac{2025}{2\cdot2024}\right)$ 와 같다.

+1점 · 지수의 성질을 활용하여 값을 계산할 수 있다.

즉, $\displaystyle 2^N=\frac{2025}{4048}$

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