공학계열 1-3번

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한국항공대 2024학년도 수시 공학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/gonghak_1_3

다) 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ $\displaystyle (a\ne0)$ 에서 판별식 $\displaystyle D=b^2-4ac$ 일 때(1) $\displaystyle D>0$ 이면 서로 다른 두 실근을 가진다.(2) $\displaystyle D=0$ 이면 서로 같은 두 실근(중근)을 가진다.(3) $\displaystyle D<0$ 이면 서로 다른 두 허근을 가진다.

[문제 1-3] 이차함수 $\displaystyle y=kx^2-2x+k-3$ 의 그래프의 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 $\displaystyle (x_k,y_k)$ 라 하자. $\displaystyle 0<x_k<1$ , $\displaystyle 0<y_k<1$ 일 때, 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 범위를 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2024학년도 수시 공학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/gonghak_1_3

+3점 · 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있다.

$\displaystyle y=k\left(x-\frac{1}{k}\right)^2+k-\frac{1}{k}-3$ 이므로 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{1}{k},k-\frac{1}{k}-3\right)$ 가 된다.

+2점 · 주어진 조건을 적용하여 부등식을 찾을 수 있다.

꼭짓점의 좌표가 $\displaystyle 0<x_k<1$ , $\displaystyle 0<y_k<1$ 을 만족해야한다.따라서, $\displaystyle 0<\frac{1}{k}<1$ , $\displaystyle 0<k-\frac{1}{k}-3<1$

+1점 · 찾은 부등식의 해 중 일부를 구할 수 있다.

$\displaystyle 0<\frac{1}{k}<1$ 이므로 $\displaystyle k>1$ .....①

+2점 · 찾은 부등식의 해 중 일부를 구할 수 있다.

$\displaystyle 0<k-\frac{1}{k}-3<1$ 의 양변에 $\displaystyle k$ 를 곱하면 $\displaystyle 0<k^2-3k-1<k$ 이를 정리하면 다음의 두 부등식을 얻는다. $\displaystyle 0<k^2-3k-1$ 이고 $\displaystyle k^2-4k-1<0$ 이 연립부등식을 풀면 $\displaystyle k<\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ 또는 $\displaystyle k>\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ 이고 $\displaystyle 2-\sqrt5<k<2+\sqrt5$ ........②

+2점 · 부등식의 해를 구할 수 있다.

①과 ②에 의하여 $\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}<k<2+\sqrt5$

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