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공학계열 1-4번

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한국항공대 2024학년도 수시 공학계열 1-4번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/gonghak_1_4

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다) 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0 (a≠0)\displaystyle (a\ne0)에서 판별식 D=b2−4ac\displaystyle D=b^2-4ac일 때(1) D>0\displaystyle D>0이면 서로 다른 두 실근을 가진다.(2) D=0\displaystyle D=0이면 서로 같은 두 실근(중근)을 가진다.(3) D<0\displaystyle D<0이면 서로 다른 두 허근을 가진다.

라) 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0 (a≠0)\displaystyle (a\ne0)의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta라고 하면,α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}

[문제 1-4] x\displaystyle x에 대한 이차방정식 x2+2(sin⁡θ+1)x+sin⁡2θ=0\displaystyle x^2+2(\sin\theta+1)x+\sin^2\theta=0의 두 실근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta (α≤β)\displaystyle (\alpha\leq\beta)라 하자. β−α≤22\displaystyle \beta-\alpha\leq2\sqrt2일 때, θ\displaystyle \theta의 값의 범위를 구하시오. (단, 0≤θ≤2π\displaystyle 0\leq\theta\leq2\pi)

해설강의 준비중

한국항공대 2024학년도 수시 공학계열 1-4번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/gonghak_1_4

+3점 · 판별식으로부터 부등식을 구할 수 있다.

방정식이 두 실근을 가지려면D/4=(sin⁡θ+1)2−sin⁡2θ=2sin⁡θ+1≥0\displaystyle D/4=(\sin\theta+1)^2-\sin^2\theta=2\sin\theta+1\geq0따라서, sin⁡θ≥−12\displaystyle \sin\theta\geq-\frac12

+3점 · 근과 계수의 관계로부터 부등식을 구할 수 있다.

근과 계수의 관계에서 α+β=2(sin⁡θ+1)\displaystyle \alpha+\beta=2(\sin\theta+1), αβ=sin⁡2θ\displaystyle \alpha\beta=\sin^2\theta이고,(α−β)2=(α+β)2−4αβ=8sin⁡θ+4\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=8\sin\theta+4이므로β−α=8sin⁡θ+4≤22\displaystyle \beta-\alpha=\sqrt{8\sin\theta+4}\leq2\sqrt2따라서, sin⁡θ≤12\displaystyle \sin\theta\leq\frac12

+4점 · 부등식의 해를 구할 수 있다.

이를 정리하면, 0≤θ≤π6\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi6, 5π6≤θ≤7π6\displaystyle \frac{5\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{7\pi}{6}, 11π6≤θ≤2π\displaystyle \frac{11\pi}{6}\leq\theta\leq2\pi

Correction. α+β=2(sin⁡θ+1)\displaystyle \alpha+\beta=2(\sin\theta+1)은 α+β=−2(sin⁡θ+1)\displaystyle \alpha+\beta=-2(\sin\theta+1)의 오기이다. 이후 근의 합의 제곱을 사용하므로 최종 답은 변하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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