이학계열 1-4번

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

[문제 1-4] 아래 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1(0,0)$, $\displaystyle \mathrm{A}_2(4,0)$, $\displaystyle \mathrm{B}_1(4,4)$, $\displaystyle \mathrm{C}_1(0,4)$를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 $\displaystyle R_1$이라 하자. 정사각형 $\displaystyle R_1$의 네 변 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$, $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{B}_1$, $\displaystyle \mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$, $\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{A}_1$의 중점을 각각 $\displaystyle \mathrm{C}_2$, $\displaystyle \mathrm{D}_1$, $\displaystyle \mathrm{E}_1$, $\displaystyle \mathrm{F}_1$ 이라 하고, 두 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_2\mathrm{E}_1$와 $\displaystyle \mathrm{D}_1\mathrm{F}_1$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{G}_1$이라 할 때, 정사각형 $\displaystyle \mathrm{G}_1\mathrm{C}_2\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1$에 내접하는 원 $\displaystyle O_1$을 그린다.Correction. 제시된 그림과 뒤의 정사각형 구성에 따르면 네 변 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$, $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{B}_1$, $\displaystyle \mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$, $\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{A}_1$의 중점은 차례로 $\displaystyle \mathrm{F}_1$, $\displaystyle \mathrm{C}_2$, $\displaystyle \mathrm{D}_1$, $\displaystyle \mathrm{E}_1$이다. 발문의 중점 이름 순서가 그림과 다르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

선분 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{C}_2$을 한 변으로 하는 정사각형 중 오른쪽 정사각형을 $\displaystyle R_2$라 하고, $\displaystyle x$축 위의 꼭짓점 중 오른쪽 점을 $\displaystyle \mathrm{A}_3$라 하자. 정사각형 $\displaystyle R_2$의 네 변의 중점을 각각 $\displaystyle \mathrm{C}_3$, $\displaystyle \mathrm{D}_2$, $\displaystyle \mathrm{E}_2$, $\displaystyle \mathrm{F}_2$라 하고, 두 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_3\mathrm{E}_2$와 $\displaystyle \mathrm{D}_2\mathrm{F}_2$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{G}_2$라 할 때, 정사각형 $\displaystyle \mathrm{G}_2\mathrm{C}_3\mathrm{B}_2\mathrm{D}_2$에 내접하는 원 $\displaystyle O_2$를 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 $\displaystyle n$번째 그린 원을 $\displaystyle O_n$이라 하자.

다음 물음에 답하시오.

(1) 원 $\displaystyle O_n$의 반지름의 길이를 $\displaystyle r_n$이라 할 때 $\displaystyle r_n$을 구하시오.

(2) 원 $\displaystyle O_n$의 중심의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_n$이라 할 때, (1)의 결과를 참고하여 $\displaystyle x_n$과 $\displaystyle x_{n-1}$ 사이의 관계식을 구하시오. ($\displaystyle n=2,3,4,\cdots$)

(3) 두 원 $\displaystyle O_9$, $\displaystyle O_{10}$의 중심을 지나는 직선의 기울기를 구하시오