공학계열 2-3번

두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$가 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,f(x_1))$에서 만난다고 할 때,$\displaystyle \begin{aligned}f(x_1)&=e^{x_1}\\&=g(x_1)=e^{ax_1-1}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle x_1=\frac1{a-1}$ (이때, $\displaystyle f(x_1)=e^{\frac1{a-1}}$)

$\displaystyle f^{\prime}(x_1)=e^{x_1}=e^{\frac1{a-1}}$$\displaystyle g^{\prime}(x_1)=ae^{ax_1-1}=ae^{\frac1{a-1}}$

$\displaystyle \tan(\angle\mathrm{APB})$는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$의 접선으로부터Caution. 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각과 직선의 기울기를 구분해야 한다: 도함수의 값은 접선의 기울기이므로, 두 값의 차이를 곧바로 각의 차이로 넣을 수 없다. 두 접선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 두고 $\displaystyle \tan\alpha=g^{\prime}(x_1)$, $\displaystyle \tan\beta=f^{\prime}(x_1)$를 적용해야 한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \tan(\angle\mathrm{APB})=\tan(g^{\prime}(x_1)-f^{\prime}(x_1))$탄젠트함수의 덧셈정리로부터$\displaystyle \begin{aligned}\tan(\angle\mathrm{APB})&=\tan(\alpha-\beta)\\&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{aligned}$이므로,$\displaystyle \tan(\angle\mathrm{APB})=\frac{ae^{ax_1-1}-e^{x_1}}{1+e^{x_1}ae^{ax_1-1}}$$\displaystyle x_1=\frac1{a-1}$이므로,$\displaystyle \tan(\angle\mathrm{APB})=\frac{(a-1)e^{\frac1{a-1}}}{ae^{\frac2{a-1}}+1}$