공학계열 2-4번

미분을 통해 접선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$의 기울기를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x^2-2}{x^2}$ (또는) $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac2{x^2}$$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1x$

두 접선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$이 평행하므로$\displaystyle f^{\prime}(t)=g^{\prime}(s)$$\displaystyle \frac1s=\frac{t^2-2}{t^2}$이므로, $\displaystyle s=\frac{t^2}{t^2-2}$의 관계가 성립한다.

접선의 방정식으로부터,$\displaystyle \begin{aligned}l:y&=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)\\&=\left(\frac{t^2-2}{t^2}\right)(x-t)+\left(\frac{t^2+2}{t}\right)\\&=\left(\frac{t^2-2}{t^2}\right)x-\left(\frac{t^2-2}{t}\right)+\left(\frac{t^2+2}{t}\right)\\&=\left(\frac{t^2-2}{t^2}\right)x+\frac4t\end{aligned}$ (또는) $\displaystyle l:y=\left(1-\frac2{t^2}\right)x+\frac4t$

$\displaystyle \begin{aligned}m:y&=g^{\prime}(s)(x-s)+g(s)\\&=\frac1s(x-s)+\ln(s)\\&=\left(\frac{t^2-2}{t^2}\right)\left(x-\frac{t^2}{t^2-2}\right)+\ln\left(\frac{t^2}{t^2-2}\right)\\&=\left(\frac{t^2-2}{t^2}\right)x-1+\ln\left(\frac{t^2}{t^2-2}\right)\end{aligned}$ (또는) $\displaystyle m:y=\left(1-\frac2{t^2}\right)x-1+\ln\left(\frac{t^2}{t^2-2}\right)$

두 접선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$이 평행하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{LM}}$을 $\displaystyle t$에 대한 함수 $\displaystyle h(t)$로 나타내면$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{LM}}&=h(t)\\&=\frac4t+1-\ln\left(\frac{t^2}{t^2-2}\right)\end{aligned}$ (함수의 개형에서 점 $\displaystyle \mathrm{L}$의 $\displaystyle y$좌표가 점 $\displaystyle \mathrm{M}$의 $\displaystyle y$좌표보다 큼)(또는)$\displaystyle \overline{\mathrm{LM}}=\frac4t+1-2\ln t+\ln(t+\sqrt2)+\ln(t-\sqrt2)$

함수 $\displaystyle f(x)$의 정의역의 범위로부터 $\displaystyle t=2$ 주변에서 $\displaystyle h(t)$의 증가와 감소를 조사하면

(음영 ▧ 부분은 하나의 예시로서 구간 $\displaystyle (\sqrt2,\infty)$에서 다른 값을 넣을 수 있으며, $\displaystyle 2$ 주변의 $\displaystyle h^{\prime}(t)$ 값을 검사하면 됨)$\displaystyle t=2$일 때, $\displaystyle h(t)=\overline{\mathrm{LM}}$이 극댓값을 갖고 극점은 하나이다.그때의 $\displaystyle \overline{\mathrm{LM}}$값은 $\displaystyle 3-\ln2$.