이학계열 2-3번

함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=k$가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를 구하면 $\displaystyle \mathrm{A}_k(k^2,k)$, $\displaystyle \mathrm{B}_k(-\sqrt k,k)$이다.

코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{A}_k\mathrm{O}\mathrm{B}_k)=\frac{\overline{\mathrm{OA}_k}^2+\overline{\mathrm{OB}_k}^2-\overline{\mathrm{A}_k\mathrm{B}_k}^2}{2\overline{\mathrm{OA}_k}\,\overline{\mathrm{OB}_k}}$에서$\displaystyle \overline{\mathrm{A}_k\mathrm{B}_k}=|k^2+\sqrt k|$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}_k}=\sqrt{k^2+k^4}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}_k}=\sqrt{k+k^2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_k\mathrm{B}_k}=\sqrt{k^4+2k^2\sqrt k+k}$.따라서 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{A}_k\mathrm{O}\mathrm{B}_k)=\frac{\sqrt k(1-\sqrt k)}{\sqrt{1+k}\sqrt{1+k^2}}$.

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\sqrt k h(k)=\lim_{k\to\infty}\frac{k(1-\sqrt k)}{\sqrt{1+k}\sqrt{1+k^2}}=\lim_{k\to\infty}\frac{\frac1{\sqrt k}-1}{\sqrt{\frac1k+1}\sqrt{\frac1{k^2}+1}}=-1$.