공학계열 1-1번

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한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_1_1

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 수렴하는 두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ , $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ 일 때, 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\leq c_n\leq b_n$ 이고 $\displaystyle \alpha=\beta$ 이면 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ 이다.

나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)dx$ (단, $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $\displaystyle x_k=a+k\Delta x$ )

[문제 1-1] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 이차함수 $\displaystyle y=2x^2-5(n+2)x+3a_n$ 의 그래프는 $\displaystyle x$ 축과 만나고, 이차함수 $\displaystyle y=2x^2-5nx+3a_n$ 의 그래프는 $\displaystyle x$ 축과 만나지 않는다고 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_1_1

+2점 · 주어진 이차함수가

\displaystyle x

축과 만나는 조건을 이용하여 적절한 부등식을 설정할 수 있다.

이차함수 $\displaystyle y=2x^2-5(n+2)x+3a_n$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 만나므로 이차방정식 $\displaystyle 2x^2-5(n+2)x+3a_n=0$ 의 판별식을 $\displaystyle D_1$ 이라고 하면 $\displaystyle D_1=25(n+2)^2-24a_n\geq0$ 즉, $\displaystyle a_n\leq\frac{25(n+2)^2}{24}$ — ➀

+2점 · 주어진 조건(그래프가

\displaystyle x

축과 만나지 않음)을 이용하여 적절한 부등식을 설정할 수 있다.

이차함수 $\displaystyle y=2x^2-5nx+3a_n$ 의 그래프는 $\displaystyle x$ 축과 만나지 않으므로 이차방정식 $\displaystyle 2x^2-5nx+3a_n=0$ 의 판별식을 $\displaystyle D_2$ 라고 하면 $\displaystyle D_2=25n^2-24a_n<0$ 즉, $\displaystyle a_n>\frac{25n^2}{24}$ — ➁

+2점 · 설정된 두 부등식을 이용해

\displaystyle a_n

의 범위를 도출할 수 있다.

➀, ➁에서 $\displaystyle \frac{25n^2}{24}<a_n\leq\frac{25(n+2)^2}{24}$

+2점 · 수열의 극한값의 대소관계를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.

$\displaystyle \frac{25n^2}{24n^2}<\frac{a_n}{n^2}\leq\frac{25(n+2)^2}{24n^2}$ 에서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{25n^2}{24n^2}=\frac{25}{24}$ 이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{25(n+1)^2}{24n^2}=\frac{25}{24}$ 이므로 수열의 극한의 대소관계에 의하여Correction. 위 부등식의 상한은 $\displaystyle \frac{25(n+2)^2}{24n^2}$ 이므로, 이 극한식의 $\displaystyle (n+1)^2$ 은 $\displaystyle (n+2)^2$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{25n^2}{24n^2}=\frac{25}{24}$

Correction. 마지막 식의 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{25n^2}{24n^2}$ 은 구하려는 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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