이학계열 1-3번

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한국항공대 2025학년도 수시 이학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/ihak_1_3

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 복소수 $\displaystyle a+bi$ ( $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 실수)의 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $\displaystyle a-bi$ 를 $\displaystyle a+bi$ 의 켤레복소수라 하고, 이것을 기호로 $\displaystyle \overline{a+bi}$ 로 나타낸다. 즉, $\displaystyle \overline{a+bi}=a-bi$ 이다. (단, $\displaystyle i=\sqrt{-1}$ )

나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle a+\Delta x$ 까지 변할 때, 평균변화율은 $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ 이다. 여기서 $\displaystyle \Delta x\to0$ 일 때, 평균변화율의 극한값 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ 가 존재할 때, 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다.

다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에서 제 $\displaystyle n$ 항에 공비 $\displaystyle r$ 을 곱하면 제 $\displaystyle (n+1)$ 항이 되므로 $\displaystyle a_{n+1}=ra_n$ ( $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$ )이 성립한다.

[문제 1-3] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 첫째항이 2이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 인 등비수열이고, 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 첫째항이 9이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{27}$ 인 등비수열이다. 점 $\displaystyle R_n$ 의 좌표를 $\displaystyle (a_n,b_n)$ 이라 하고, 선분 $\displaystyle R_nR_{n+1}$ 을 지름으로 하는 원을 $\displaystyle C_n$ 이라 하자. 원 $\displaystyle C_n$ 의 중심을 $\displaystyle O_n$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\displaystyle R_1$ , 점 $\displaystyle R_2$ , 점 $\displaystyle R_3$ 과 점 $\displaystyle O_1$ , 점 $\displaystyle O_2$ 의 좌표를 각각 구하시오.

(2) 점 $\displaystyle O_n$ 의 좌표를 $\displaystyle n$ 에 대한 식으로 나타내시오.

(3) 삼차함수 $\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2$ 의 그래프가 점 $\displaystyle O_1$ 과 점 $\displaystyle O_2$ 를 지날 때, 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오.

(4) (3)에서 구한 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle P(t,f(t))$ $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\leq t\leq1\right)$ 에 대하여 점 $\displaystyle P$ 와 직선 $\displaystyle O_1O_2$ 사이의 거리가 $\displaystyle t=\alpha$ 에서 최대일 때 $\displaystyle \alpha^2$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 이학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/ihak_1_3

+5점 · 등비수열을 활용하여 문제에 주어진 점의 좌표를 바르게 구할 수 있다. - 각 좌표당 1점 (5점)

(1) $\displaystyle R_1=(2,9)$ , $\displaystyle R_2=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$ , $\displaystyle R_3=\left(\frac{2}{9},\frac{1}{81}\right)$ , $\displaystyle O_1=\left(\frac{4}{3},\frac{14}{3}\right)$ , $\displaystyle O_2=\left(\frac{4}{9},\frac{14}{81}\right)$ 각 좌표당 1점

+6점 · 등비수열의 일반항을 이용하여

\displaystyle O_n

의 좌표를 바르게 나타낼 수 있다. (6점)

(2)점 $\displaystyle O_n$ 의 좌표는 $\displaystyle O_n=\left(\frac{a_n+a_{n+1}}{2},\frac{b_n+b_{n+1}}{2}\right)$ 으로 계산할 수 있음.[3점] $\displaystyle O_n=\left(\frac{4}{3^n},\frac{126}{27^n}\right)$ [3점]

+8점 · 삼차함수의 계수를 구할 수 있다. (8점)

(3) $\displaystyle f\left(\frac{4}{3}\right)=a\left(\frac{4}{3}\right)^3+b\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{14}{3}$ $\displaystyle f\left(\frac{4}{9}\right)=a\left(\frac{4}{9}\right)^3+b\left(\frac{4}{9}\right)^2=\frac{14}{81}$ $\displaystyle a=\frac{63}{32}$ , $\displaystyle b=0$

+9점 · 점

\displaystyle P

와 접선 사이의 거리를 구할 수 있다. (9점)

Correction. 이 채점기준의 “접선”은 문제에서 거리를 구하는 대상인 “직선 $\displaystyle O_1O_2$ ”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(4)직선 $\displaystyle O_1O_2$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{\frac{14}{81}-\frac{14}{3}}{\frac{4}{9}-\frac{4}{3}}=\frac{91}{18}$ [3점]가장 먼 거리에 있는 점은 기울기가 $\displaystyle \frac{91}{18}$ 인 접선과 만나는 접점이므로 $\displaystyle \frac{91}{18}=\frac{63}{32}(3x^2)$ , $\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{208}{243}}$ 이므로 $\displaystyle \alpha^2=\frac{208}{243}$ (또는 $\displaystyle \frac{1456}{1701}=\frac{2912}{3402}$ )[6점]

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