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이학계열 1-4번

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한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 1-4번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_1_4

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문제

가) 미분가능한 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 도함수는f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

나) 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta라고 하면α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}

다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면r≠1\displaystyle r\ne1일 때, Sn=a(1−rn)1−r\displaystyle S_n=a\frac{(1-r^n)}{1-r}r=1\displaystyle r=1일 때, Sn=na\displaystyle S_n=na

라) 함수 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x는 주기가 2π\displaystyle 2\pi인 주기 함수이다.

[문제 1-4] 첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\}이 있다. a3=100\displaystyle a_3=100일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 1≤a≤100\displaystyle 1\leq a\leq100, r>0\displaystyle r>0)

(1) −(log⁡a)3+(log⁡a2)2\displaystyle -(\log a)^3+(\log a_2)^2을 a\displaystyle a에 대한 식으로 나타내시오.

(2) (1)에서 구한 식을 f(a)\displaystyle f(a)라 할 때, 함수 f(a)\displaystyle f(a)의 최댓값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 1-4번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_1_4

+5점

(1) (5점)a1=a\displaystyle a_1=aa3=ar2=100\displaystyle a_3=ar^2=100log⁡ar2=log⁡100\displaystyle \log ar^2=\log100log⁡a+2log⁡r=2\displaystyle \log a+2\log r=2 이므로log⁡r=2−log⁡a2\displaystyle \log r=\frac{2-\log a}{2}(1) 번 답 −(log⁡a)3+(log⁡a+2−log⁡a2)2\displaystyle -(\log a)^3+\left(\log a+\frac{2-\log a}{2}\right)^2 또는 −(log⁡a)3+(1+log⁡a2)2\displaystyle -(\log a)^3+\left(1+\frac{\log a}{2}\right)^2

+8점

(2) (8점)t=log⁡a\displaystyle t=\log a 라 하면, g(t)=−t3+(t+2−t2)2=−t3+(1+t2)2\displaystyle g(t)=-t^3+\left(t+\frac{2-t}{2}\right)^2=-t^3+\left(1+\frac t2\right)^2 (0≤t≤2\displaystyle 0\leq t\leq2)g′(t)=−3t2+12t+1=0\displaystyle g^{\prime}(t)=-3t^2+\frac12t+1=0, 즉 t=23\displaystyle t=\frac23 또는 t=−12\displaystyle t=-\frac12. 이므로 t=23\displaystyle t=\frac23

tt0⋯23\frac23⋯2
g′(t)g^{\prime}(t) +0− 
g(t)g(t)1↗4027\frac{40}{27}↘−4

이므로 t=23\displaystyle t=\frac23에서 최댓값이다.(2) 번 답 4027\displaystyle \frac{40}{27}

하위문항채점기준배점
1-4 (1)등비수열의 조건을 이용하여 공비를 로그식으로 정확히 정리하고, 식을 a\displaystyle a에 대한 식으로 올바르게 나타낸 경우5
1-4 (1)풀이 과정은 타당하나 마지막에 간단한 계산 실수가 있는 경우3.5
1-4 (2)치환 후 정의역을 설정하고, 미분을 이용하여 증감표를 작성하여 최댓값을 정확히 구한 경우8
1-4 (2)증감표를 작성하지 않은 경우7
1-4 (2)풀이 과정은 타당하나 마지막에 간단한 계산 실수가 있는 경우6

(1) 채점기준

● 답과 풀이 과정이 모두 맞는 경우: 5

● 풀이과정 중 마지막에 간단한 계산 실수가 있는 경우: 3.5

(2) 채점기준

● 답과 풀이 과정이 모두 맞는 경우: 8

● 증감표 없는 경우: -1

● 풀이과정 중 마지막에 간단한 실수가 있는 경우: 6

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