이학계열 2-2번

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한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_2_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 증가한다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소한다.

나) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)$ 의 부정적분 중의 하나를 $\displaystyle F(x)$ 라고 하면 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 부터 $\displaystyle b$ 까지의 정적분은 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$

다) 함수의 극한의 성질 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$ , $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=M$ ( $\displaystyle L$ , $\displaystyle M$ 은 실수)일 때,(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}cf(x)=cL$ ( $\displaystyle c$ 는 상수)(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=L+M$ (3) $\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=L-M$ (4) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM$ (5) $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$ ( $\displaystyle M\ne0$ )※ 함수의 극한의 성질은 $\displaystyle x\to a-$ , $\displaystyle x\to a+$ , $\displaystyle x\to\infty$ , $\displaystyle x\to-\infty$ 일 때도 성립한다.

[문제 2-2] $\displaystyle -3\leq x\leq1$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=ax^2-2(a^2+1)x+2a^2-a+3$ ( $\displaystyle a$ 는 실수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle s>0$ , $\displaystyle t>0$ 일 때, 부등식 $\displaystyle \frac{s+t}{2}\geq\sqrt{st}$ 가 성립함을 보이시오.

(2) (1)의 부등식을 이용하여 실수 $\displaystyle a$ 의 값에 관계없이 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값이 일정함을 보이시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_2_2

+3점

풀이) (1) (3점) $\displaystyle s>0$ , $\displaystyle t>0$ 일 때, $\displaystyle \frac{s+t}{2}-\sqrt{st}=\frac{(\sqrt s)^2-2\sqrt{st}+(\sqrt t)^2}{2}=\frac{(\sqrt s-\sqrt t)^2}{2}\geq0$ 이다.따라서 $\displaystyle \frac{s+t}{2}\geq\sqrt{st}$ 가 성립한다.

(2) (10점)

+2점

ⅰ) $\displaystyle a=0$ 일 때, $\displaystyle y=-2x+3$ 은 $\displaystyle -3\leq x\leq1$ 에서 감소하므로 $\displaystyle x=1$ 에서 최솟값 $\displaystyle 1$ .

+4점

ⅱ) $\displaystyle a>0$ 일 때, $\displaystyle y=a\left(x-\left(a+\frac1a\right)\right)^2-\frac{(a^2+1)^2}{a}+2a^2-a+3$ 이므로 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle a+\frac1a$ . $\displaystyle a>0$ 이고 $\displaystyle \frac1a>0$ 이므로 (1)에 의해 $\displaystyle a+\frac1a\geq2$ 이다.즉, 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 2$ 보다 크거나 같으므로 아래로 볼록인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle -3\leq x\leq1$ 의 범위에서 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표에서 가장 가까이 있는 $\displaystyle x=1$ 에서 최솟값을 갖고, 이때 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$ 이다.

+4점

ⅲ) $\displaystyle a<0$ 일 때, $\displaystyle y=a\left(x-\left(a+\frac1a\right)\right)^2-\frac{(a^2+1)^2}{a}+2a^2-a+3$ 이므로 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle a+\frac1a$ . $\displaystyle b=-a$ 라 하면, $\displaystyle b>0$ 이고 $\displaystyle \frac1b>0$ 이므로 (1)에 의해 $\displaystyle b+\frac1b\geq2$ 이다.따라서 $\displaystyle a+\frac1a=-\left(b+\frac1b\right)\leq-2$ 이므로 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle -2$ 보다 작거나 같다.꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle -2$ 보다 작거나 같으므로 위로 볼록인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle -3\leq x\leq1$ 의 범위에서 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표에서 가장 멀리 있는 $\displaystyle x=1$ 에서 최솟값을 갖고, 이때 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$ 이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 최솟값은 $\displaystyle 1$ 로 일정하다.

하위문항	채점기준	배점
2-2 (1)	절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다. - 주어진 절대부등식을 논리적으로 오류가 없이 증명하면 (3점)	3
2-2 (2)	함수의 그래프를 이해하고, 이차함수의 최대, 최소를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. - 일차함수일 때, 최솟값이 일정함을 보이면 (2점) - (1)을 이용하여 $\displaystyle a>0$ 일 때 최솟값이 일정함을 보이면 (4점) - (1)을 이용하여 $\displaystyle a<0$ 일 때 최솟값이 일정함을 보이면 (4점)	10

<다른 풀이> 기타 논리적으로 오류가 없는 경우 인정

◆ (1)을 활용하고 그래프 등 기타 논리적으로 오류가 없는 경우 인정

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