이학계열 2-2번

풀이) (1) (3점)$\displaystyle s>0$, $\displaystyle t>0$일 때, $\displaystyle \frac{s+t}{2}-\sqrt{st}=\frac{(\sqrt s)^2-2\sqrt{st}+(\sqrt t)^2}{2}=\frac{(\sqrt s-\sqrt t)^2}{2}\geq0$이다.따라서 $\displaystyle \frac{s+t}{2}\geq\sqrt{st}$가 성립한다.

ⅰ) $\displaystyle a=0$일 때, $\displaystyle y=-2x+3$은 $\displaystyle -3\leq x\leq1$에서 감소하므로 $\displaystyle x=1$에서 최솟값 $\displaystyle 1$.

ⅱ) $\displaystyle a>0$일 때,$\displaystyle y=a\left(x-\left(a+\frac1a\right)\right)^2-\frac{(a^2+1)^2}{a}+2a^2-a+3$이므로 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle a+\frac1a$.$\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle \frac1a>0$이므로 (1)에 의해 $\displaystyle a+\frac1a\geq2$이다.즉, 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 2$보다 크거나 같으므로 아래로 볼록인 이차함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle -3\leq x\leq1$의 범위에서 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표에서 가장 가까이 있는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값을 갖고, 이때 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$이다.

ⅲ) $\displaystyle a<0$일 때,$\displaystyle y=a\left(x-\left(a+\frac1a\right)\right)^2-\frac{(a^2+1)^2}{a}+2a^2-a+3$이므로 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle a+\frac1a$.$\displaystyle b=-a$라 하면, $\displaystyle b>0$이고 $\displaystyle \frac1b>0$이므로 (1)에 의해 $\displaystyle b+\frac1b\geq2$이다.따라서 $\displaystyle a+\frac1a=-\left(b+\frac1b\right)\leq-2$이므로 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle -2$보다 작거나 같다.꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle -2$보다 작거나 같으므로 위로 볼록인 이차함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle -3\leq x\leq1$의 범위에서 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표에서 가장 멀리 있는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값을 갖고, 이때 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$이다.