자연계열 1-1번

[가] 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( x_{1} , y_{1} \right)$에서 직선 $\displaystyle a x + b y + c = 0$까지의 거리는 직선 위의 점에서 $\displaystyle \mathrm{P}$까지의 거리 중에서 가장 작은 값으로서 그 값은 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 직선에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( x_{2} , y_{2} \right)$라고 할 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$ 사이의 거리이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나고 직선에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle b ( x - x_{1} ) - a ( y - y_{1} ) = 0$으로 나타낼 수 있고, $\displaystyle \mathrm{Q} ( x_{2} , y_{2} )$는 두 직선 위에 동시에 있으므로 두 일차방정식을 연립하여 풀어 $\displaystyle x_{2}$와 $\displaystyle y_{2}$를 구할 수 있다. 이렇게 구한 $\displaystyle \mathrm{Q} ( x_{2} , y_{2} )$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $\displaystyle d = \sqrt{( x_{2} - x_{1} )^{2} + ( y_{2} - y_{1} )^{2}}$을 정리하면 $\displaystyle d = \frac{{| a x_{1} + b y_{1} + c |}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$으로 표현할 수 있다.

[나] 원뿔은 직각삼각형을 빗변이 아닌 한 변을 중심으로 회전하여 얻은 도형이다. 원뿔의 전개도는 밑면인 원과 옆면인 부채꼴로 이루어지므로 밑면의 반지름이 $\displaystyle r$이고 모선의 길이가 $\displaystyle l$인 원뿔의 겉넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S = \pi r^{2} + \pi r l$로 나타낼 수 있다.

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라고 하고, 특히 밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 다면체를 각뿔이라고 한다. 각뿔의 겉넓이도 전개도를 이용하여 밑면 다각형의 넓이와 옆면을 이루는 삼각형들의 넓이의 합으로 구할 수 있다.

일반적으로 밑면의 넓이가 $\displaystyle S$이고 높이가 $\displaystyle h$인 원뿔과 각뿔의 부피 $\displaystyle V$는 $\displaystyle V = \frac{1}{3} S h$이다.

[다] 함수 $\displaystyle f ( x )$가 $\displaystyle x = a$를 포함하는 어떤 열린구간의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \le f ( a )$이면, $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x = a$에서 극대라고 하고 $\displaystyle f ( a )$를 극댓값이라고 한다. 유사하게, 함수 $\displaystyle f ( x )$가 $\displaystyle x = b$를 포함하는 어떤 열린구간의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \ge f ( b )$이면, $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x = b$에서 극소라고 하고 $\displaystyle f ( b )$를 극솟값이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 하며, $\displaystyle f ( x )$가 $\displaystyle x = a$에서 미분가능하고 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0$임을 보일 수 있다. 특히 $\displaystyle x = a$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$의 부호 변화를 관찰하면 $\displaystyle f ( a )$가 극댓값인지 극솟값인지를 판별할 수 있다.

닫힌구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f ( x )$는 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 특히 $\displaystyle f ( x )$가 열린구간 $\displaystyle \left( a , b \right)$에서 미분가능한 경우, 최댓값과 최솟값은 $\displaystyle f ( x )$의 구간 끝점에서의 값과 극값의 크기를 비교하여 구할 수 있다.