자연계열 1번

이다. 이 직각삼각형의 두 변을 좌표축과 일치시키면 $\displaystyle x,y$절편이 각각 $\displaystyle u,v$인 직선 위에 점 $\displaystyle (r,h)$가 있는 것이므로 $\displaystyle \frac ru+\frac hv=1$이고 따라서 $\displaystyle v=\frac{hu}{u-r}$이다.

원뿔 $\displaystyle B$의 부피는 $\displaystyle V=\frac{\pi u^2v}3=\frac{\pi h}3\frac{u^3}{u-r}$이고

$\displaystyle \frac{dV}{du}=\frac{\pi h}3\frac{u^2(2u-3r)}{(u-r)^2}$이다. $\displaystyle u>r$의 범위에서 $\displaystyle u=\frac32r$일 때 $\displaystyle \frac{dV}{du}=0$이고, $\displaystyle \frac{dV}{du}$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 여기서 $\displaystyle V$는 극솟값을 갖는다. 주어진 범위에서 유일한 극솟값이므로 이것은 $\displaystyle V$의 최솟값이다.

따라서 부피가 최소인 원뿔 $\displaystyle B$의 밑면 반지름은 $\displaystyle u=\frac32r$이고 높이는 $\displaystyle v=\frac{hu}{u-r}=3h$이다. 따라서 부피는 $\displaystyle V=\frac{\pi u^2v}3=\frac{9\pi r^2h}4$이다.

이다. 직각삼각형의 닮음에서 $\displaystyle r:(v-r)=u:\sqrt{u^2+v^2}$, 즉 $\displaystyle u(v-r)=r\sqrt{u^2+v^2}$이므로 $\displaystyle \frac vr=1+\frac{\sqrt{u^2+v^2}}u$이다.

원뿔의 겉넓이는 밑면의 넓이 $\displaystyle \pi u^2$과 옆면을 전개한 부채꼴의 넓이 $\displaystyle \pi u\sqrt{u^2+v^2}$의 합 $\displaystyle S=\pi u^2\left(1+\frac{\sqrt{u^2+v^2}}u\right)=\frac{\pi v}ru^2$이다. $\displaystyle u=\frac{rv}{\sqrt{v^2-2rv}}$를 대입하면 $\displaystyle S=\frac{\pi rv^2}{v-2r}$이고

$\displaystyle \frac{dS}{dv}=\frac{\pi rv(v-4r)}{(v-2r)^2}$이다. $\displaystyle v>2r$이므로 $\displaystyle S$는 이 범위에서 $\displaystyle v=4r$ (따라서 $\displaystyle u=\sqrt2r$)일 때 유일한 극솟값, 즉 최솟값

$\displaystyle S=8\pi r^2$을 갖는다.

이다. 이 직각삼각형의 두 변을 좌표축과 일치시키면, 원뿔 $\displaystyle C$의 모선의 기울기는 (2)의 계산에 의하여 $\displaystyle -2\sqrt2$이고 따라서 원뿔 $\displaystyle D$의 나머지 모선의 방정식은 $\displaystyle y=2\sqrt2x+k$이다.

이 직선은 중심이 $\displaystyle (0,r)$이고 반지름이 $\displaystyle r$인 원과 접하므로 $\displaystyle k=-2r$, 즉 $\displaystyle y=2\sqrt2x-2r$이다.

이 직선의 $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle \frac r{\sqrt2}$이므로 원뿔 $\displaystyle D$의 지름은 $\displaystyle \sqrt2r-\frac r{\sqrt2}=\frac r{\sqrt2}$, 즉 반지름은 $\displaystyle \frac r{2\sqrt2}$이고 따라서 높이는 반지름의 $\displaystyle 2\sqrt2$배인 $\displaystyle r$이다. 부피는 $\displaystyle V=\frac{\pi r^3}{24}$이다.

그림에서 $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}n\times\frac12=\frac\pi n$, $\displaystyle a=2u\tan\theta$이고,

직각삼각형의 닮음에서 $\displaystyle u(v-r)=r\sqrt{u^2+v^2}$이다.

각뿔의 겉넓이는 밑면 정$\displaystyle n$각형의 넓이 $\displaystyle \frac n2au=nu^2\tan\theta$와 옆면 이등변 삼각형 $\displaystyle n$개의 넓이 $\displaystyle \frac n2a\sqrt{u^2+v^2}=nu\sqrt{u^2+v^2}\tan\theta$의 합 $\displaystyle S=nu^2\left(1+\frac{\sqrt{u^2+v^2}}u\right)\tan\theta=\frac{nu^2v\tan\theta}r$이다. $\displaystyle u=\frac{rv}{\sqrt{v^2-2rv}}$를 대입하면 $\displaystyle S=\frac{v^2}{v-2r}nr\tan\theta$이고,

$\displaystyle \frac{dS}{dv}=\frac{v(v-4r)}{(v-2r)^2}nr\tan\theta$이다. $\displaystyle v>2r$이므로 $\displaystyle S$는 이 범위에서 $\displaystyle v=4r$ (따라서 $\displaystyle u=\sqrt2r$이고 $\displaystyle a=2\sqrt2r\tan\theta$)일 때 유일한 극솟값, 즉 최솟값

$\displaystyle S=8nr^2\tan\frac\pi n$을 갖는다.