자연계열 1-1번

[논제 Ⅰ-1](1) 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$의 좌표를 각각 $\displaystyle \left( a , a^{2} \right)$, $\displaystyle \left( a + h , ( a + h )^{2} \right)$이라 두면 $\displaystyle ( h > 0 )$, 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$축 위의 수선의 발 $\displaystyle A^{\prime}$, $\displaystyle B^{\prime}$는 $\displaystyle \left( a , 0 \right)$, $\displaystyle \left( a + h , 0 \right)$이 된다. 제시문 [마]를 이용하여 구하고자 하는 영역의 넓이 $\displaystyle S$를 구하면$\displaystyle S=$(사다리꼴 $\displaystyle ABB^{\prime}A^{\prime}$의 넓이)$\displaystyle -\int_a^{a+h}x^2\,dx$가 된다.

(사다리꼴 $\displaystyle ABB^{\prime} A^{\prime}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{{\left\{ a^{2} + ( a + h )^{2} \right\} h}}{2} = a^{2} h + a h^{2} + \frac{h^{3}}{2}$,$\displaystyle \int_a^{a+h}x^2\,dx=\frac13\{(a+h)^3-a^3\}=\frac{h^3}3+a^2h+ah^2$이므로, $\displaystyle S = \frac{h^{3}}{6}$이다.

(2) 점 $\displaystyle B$의 좌표를 $\displaystyle \left( a + h , ( a + h )^{2} \right)$라 두면 $\displaystyle \left( h > 0 \right)$, $\displaystyle {\overline{AB}}^{2}= 25 \frac{a^{4}}{16} + \frac{a^{2}}{4}$이므로,$\displaystyle h^{4} + 4 a h^{3} + ( 4 a^{2} + 1 ) h^{2} - 25 \frac{a^{4}}{16} - \frac{a^{2}}{4}= h^{4} + 4 a h^{3} + ( 4 a^{2} + 1 ) h^{2} - \frac{a^{2}}{4} \left( 25 \frac{a^{2}}{4} + 1 \right) = 0$

이 된다. $\displaystyle P(h)=h^4+4ah^3+(4a^2+1)h^2-\frac{a^2}4\left(\frac{25a^2}4+1\right)$라 두면, $\displaystyle P\left(\frac a2\right)=0$이므로, 제시문 [바]에 의해 다항식 $\displaystyle P$는 $\displaystyle x-\frac a2$로 나누어떨어지고$\displaystyle P ( h ) = \left( h - \frac{a}{2} \right) \left\{ h^{3} + 9 \frac{a}{2} h^{2} + \left( 25 \frac{a^{2}}{4} + 1 \right) h + \frac{a}{2} \left( 25 \frac{a^{2}}{4} + 1 \right) \right\}$이 된다. $\displaystyle a$와 $\displaystyle h$는 양수이므로 $\displaystyle h = \frac{a}{2}$일 때만 $\displaystyle \overline{AB} = \sqrt{25 \frac{a^{4}}{16} + \frac{a^{2}}{4}}$을 만족한다.

따라서, (1)번에 의해 선분 $\displaystyle AB$와 곡선 $\displaystyle y = x^{2}$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{a^{3}}{48}$이다.