자연계열 1번

[논제 Ⅰ-1](1) 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$의 좌표를 각각 $\displaystyle \left( a , a^{2} \right)$, $\displaystyle \left( a + h , ( a + h )^{2} \right)$이라 두면 $\displaystyle ( h > 0 )$, 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$축 위의 수선의 발 $\displaystyle A^{\prime}$, $\displaystyle B^{\prime}$는 $\displaystyle \left( a , 0 \right)$, $\displaystyle \left( a + h , 0 \right)$이 된다. 제시문 [마]를 이용하여 구하고자 하는 영역의 넓이 $\displaystyle S$를 구하면$\displaystyle S=$(사다리꼴 $\displaystyle ABB^{\prime}A^{\prime}$의 넓이)$\displaystyle -\int_a^{a+h}x^2\,dx$가 된다.

(사다리꼴 $\displaystyle ABB^{\prime} A^{\prime}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{{\left\{ a^{2} + ( a + h )^{2} \right\} h}}{2} = a^{2} h + a h^{2} + \frac{h^{3}}{2}$,$\displaystyle \int_a^{a+h}x^2\,dx=\frac13\{(a+h)^3-a^3\}=\frac{h^3}3+a^2h+ah^2$이므로, $\displaystyle S = \frac{h^{3}}{6}$이다.

(2) 점 $\displaystyle B$의 좌표를 $\displaystyle \left( a + h , ( a + h )^{2} \right)$라 두면 $\displaystyle \left( h > 0 \right)$, $\displaystyle {\overline{AB}}^{2}= 25 \frac{a^{4}}{16} + \frac{a^{2}}{4}$이므로,$\displaystyle h^{4} + 4 a h^{3} + ( 4 a^{2} + 1 ) h^{2} - 25 \frac{a^{4}}{16} - \frac{a^{2}}{4}= h^{4} + 4 a h^{3} + ( 4 a^{2} + 1 ) h^{2} - \frac{a^{2}}{4} \left( 25 \frac{a^{2}}{4} + 1 \right) = 0$

이 된다. $\displaystyle P(h)=h^4+4ah^3+(4a^2+1)h^2-\frac{a^2}4\left(\frac{25a^2}4+1\right)$라 두면, $\displaystyle P\left(\frac a2\right)=0$이므로, 제시문 [바]에 의해 다항식 $\displaystyle P$는 $\displaystyle x-\frac a2$로 나누어떨어지고$\displaystyle P ( h ) = \left( h - \frac{a}{2} \right) \left\{ h^{3} + 9 \frac{a}{2} h^{2} + \left( 25 \frac{a^{2}}{4} + 1 \right) h + \frac{a}{2} \left( 25 \frac{a^{2}}{4} + 1 \right) \right\}$이 된다. $\displaystyle a$와 $\displaystyle h$는 양수이므로 $\displaystyle h = \frac{a}{2}$일 때만 $\displaystyle \overline{AB} = \sqrt{25 \frac{a^{4}}{16} + \frac{a^{2}}{4}}$을 만족한다.

따라서, (1)번에 의해 선분 $\displaystyle AB$와 곡선 $\displaystyle y = x^{2}$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{a^{3}}{48}$이다.

[논제 Ⅰ-2](1) 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=nx^{n-1},\ g^{\prime}(x)=\left(1-\frac1n\right)x^{-\frac1n}$이다. 점 $\displaystyle P(1,1)$에서 $\displaystyle y=f(x),\ y=g(x)$에 접하는 접선을 각각 $\displaystyle l_1,l_2$라 하면, 제시문 [가]에 의해$\displaystyle l_{1} : y - 1 = n ( x - 1 )$, $\displaystyle l_{2} : y - 1 = \left( 1 - \frac{1}{n} \right) ( x - 1 )$이다. $\displaystyle l_{1}$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점 $\displaystyle A_{n} \left( a_{n} , 0 \right)$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$, $\displaystyle l_{2}$가 $\displaystyle y$축과 만나는 점 $\displaystyle B_{n} \left( 0 , b_{n} \right)$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle b_{n} = \frac{1}{n}$이다.

(사각형 $\displaystyle OA_{n} PB_{n}$의 넓이)$\displaystyle =$(삼각형 $\displaystyle OA_{n} P$의 넓이)$\displaystyle +$(삼각형 $\displaystyle OPB_{n}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{2} \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle n$과 상관없이 일정하다. 따라서(삼각형 $\displaystyle A_{n} PB_{n}$의 넓이)$\displaystyle =$(사각형 $\displaystyle OA_{n} PB_{n}$의 넓이)$\displaystyle -$(삼각형 $\displaystyle OA_{n} B_{n}$의 넓이)$\displaystyle =\frac12-\frac12\times\overline{OA_n}\times\overline{OB_n}=\frac12-\frac12\left(1-\frac1n\right)\frac1n=\frac{n^2-n+1}{2n^2}$

이다. $\displaystyle G(n)=\frac{n^2-n+1}{2n^2}$이라 하면 $\displaystyle G^{\prime}(n)=\frac{n(n-2)}{2n^4}$이고 $\displaystyle n>1$의 범위에서 $\displaystyle n=2$일 때 극값을 가진다. $\displaystyle 1<n<2$일 때 $\displaystyle G^{\prime}(n)<0$이고 $\displaystyle n>2$일 때 $\displaystyle G^{\prime}(n)>0$이므로, 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle G(n)$은 $\displaystyle 1<n<2$에서 감소함수이고, $\displaystyle n>2$에서 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle n=2$일 때 $\displaystyle G(n)$은 최솟값 $\displaystyle G(2)=\frac38$을 가지며, 삼각형 $\displaystyle A_nPB_n$의 넓이는 $\displaystyle n=2$일 때 최솟값 $\displaystyle \frac38$을 가진다.

(2) $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle A \left( 1 , 0 \right)$과 $\displaystyle y$축 위의 점 $\displaystyle B \left( 0 , 1 \right)$에 대하여, 각 $\displaystyle A_{n} PA$를 $\displaystyle \alpha$, 각 $\displaystyle BPB_{n}$을 $\displaystyle \beta$라 하면, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} - ( \alpha + \beta )$이므로 $\displaystyle \alpha + \beta$가 최대일 때 $\displaystyle \theta$가 최소가 된다.삼각형 $\displaystyle A_nPA$는 $\displaystyle \overline{AP}=1$이고 $\displaystyle \overline{A_nA}=\overline{OA}-\overline{OA_n}=1-\left(1-\frac1n\right)=\frac1n$이며 각 $\displaystyle A_nAP=\frac\pi2$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \tan\alpha=\frac1n$이다. 또한 삼각형 $\displaystyle BPB_n$은 $\displaystyle \overline{BP}=1$이고 $\displaystyle \overline{BB_n}=\overline{OB}-\overline{OB_n}=1-\frac1n$이며 각 $\displaystyle B_nBP=\frac\pi2$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \tan\beta=1-\frac1n$이다.제시문 [라]에 의해 $\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{1 - \tan \alpha \tan \beta}= \frac{1}{1 - \frac{1}{n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)} = \frac{n^{2}}{n^{2} - n + 1}$이고,$\displaystyle \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - ( \alpha + \beta ) \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - ( \alpha + \beta ) \right)= \frac{{1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - ( \alpha + \beta ) \right)}}{1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - ( \alpha + \beta ) \right)}$이며,$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{4} - ( \alpha + \beta ) \right) = \frac{{1 - \tan ( \alpha + \beta )}}{1 + \tan ( \alpha + \beta )}$이므로 $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\tan ( \alpha + \beta )} = \frac{{n^{2} - n + 1}}{n^{2}}$이다.

$\displaystyle H ( n ) = \frac{{n^{2} - n + 1}}{n^{2}}$이라 하면 $\displaystyle H^{\prime} ( n ) = \frac{{n ( n - 2 )}}{n^{4}}$이고 $\displaystyle n > 1$의 범위에서 $\displaystyle n = 2$일 때 극값을 가진다. $\displaystyle 1 < n < 2$에서 $\displaystyle H^{\prime} ( n ) < 0$이고, $\displaystyle n > 2$에서 $\displaystyle H^{\prime} ( n ) > 0$이므로, 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle H ( n )$은 $\displaystyle 1 < n < 2$에서 감소함수이고 $\displaystyle n > 2$에서 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle n = 2$일 때 $\displaystyle H ( n )$는 최솟값 $\displaystyle H ( 2 ) = \frac{3}{4}$를 가진다.

한편 $\displaystyle \tan x$ 함수는 $\displaystyle - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$에서 증가함수이므로, $\displaystyle \tan \theta$가 최소일 때 $\displaystyle \theta$도 최소이다. 따라서 $\displaystyle n = 2$일 때 $\displaystyle \theta$는 최소이며, 이때 $\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{4}$이다.