자연계열 (오후) 3-1번

경희대 2023학년도 수시 자연계열 (오후) 3-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2023su/jayeon_pm_3_1

[바] 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률은 $\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}\quad(\text{단, }\mathrm P(A)>0)$ [사] 어떤 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p\ (0<p<1)$ 일 때, 이 시행을 $\displaystyle n$ 회 반복하는 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 $\displaystyle r$ 회 일어날 확률은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_rp^r(1-p)^{n-r}\quad(\text{단, }r=0,1,2,\cdots,n)$

[논제 Ⅲ]어느 불꽃놀이에서 불꽃을 쏘아 올리면 불꽃이 지면에서 출발한다. 이 불꽃은 지면에서 수직 방향으로 20m를 이동한 후 네 갈래 또는 여섯 갈래로 갈라지면서 이동한다. 이 갈라지는 지점을 ‘첫 번째 분기점’이라고 한다. 첫 번째 분기점에서 갈라진 불꽃들은 각각 10m씩 이동하여 다시 네 갈래 또는 여섯 갈래로 갈라지면서 이동한다. 두 번째 갈라지는 지점을 ‘두 번째 분기점’이라고 한다. 두 번째 분기점들에서 갈라진 불꽃들은 각각 $\displaystyle 2t$ m씩 이동한 후 사라진다. (단, $\displaystyle 0<t<\frac52$ )<그림 1>은 첫 번째 분기점에서 네 갈래로 갈라지고 두 번째 분기점에서 각각 4, 6, 4, 6 갈래로 갈라진 경우의 예시이다.<그림 2>는 점선을 따라 이동한 불꽃이 분기점에서 네 갈래 또는 여섯 갈래로 갈라지는 모양을 나타낸 것이다. 점선의 화살표 방향을 따라 이동한 불꽃은 <그림 2>와 같은 각도로만 갈라진다.

다음 조건을 만족할 때 아래 물음에 답하시오.

(가) 각 분기점에서 불꽃이 갈라지는 시행은 독립시행이다.(나) 각 분기점에서 불꽃이 네 갈래로 갈라질 확률은 $\displaystyle \frac12$ 이다.(다) 불꽃은 한 평면 위에서 움직인다.(라) 불꽃은 동일한 속력으로 움직이고, 직선으로 이동한다. (단, 분기점은 제외한다.)

(1) 두 번째 분기점에서 생기는 불꽃의 개수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하자. $\displaystyle 22\le X\le26$ 인 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때, 첫 번째 분기점에서 불꽃이 여섯 갈래로 갈라진 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률 $\displaystyle \mathrm P(B|A)$ 를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (18점)

해설강의 준비중

경희대 2023학년도 수시 자연계열 (오후) 3-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2023su/jayeon_pm_3_1

+6점 · 독립시행의 확률을 이용하여 처음에 네 갈래의 경우의 확률을 계산한다.

[논제 Ⅲ](1) $\displaystyle X=22$ 인 경우: 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 6, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac12\times{}_{4}\mathrm C_1\left(\frac12\right)^4=\frac18$ $\displaystyle X=24$ 인 경우:(i) 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 6, 6, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac12\times\left(\frac12\right)^4=\frac1{32}$

+6점 · 독립시행의 확률을 이용하여 처음에 여섯 갈래의 경우의 확률을 계산한다.

(ii) 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 4, 4 갈래로 갈라지는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac12\times\left(\frac12\right)^6=\frac1{128}$ $\displaystyle X=26$ 인 경우: 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 4, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac12\times{}_{6}\mathrm C_1\left(\frac12\right)^6=\frac3{64}$

+6점 · 조건부확률을 계산한다.

따라서 $\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\frac1{128}+\frac3{64}=\frac7{128}\quad\text{이고}\quad\mathrm P(A)=\frac18+\frac1{32}+\frac1{128}+\frac3{64}=\frac{27}{128}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac7{27}$

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