자연계열 (오후) 2번

[논제 Ⅱ](1) $\displaystyle 0<t<3$이면 두 정사각형이 겹치는 부분은 $\displaystyle t$의 값에 따라 다른 크기의 직사각형이 된다. 따라서 각 경우에 대하여 직사각형의 두 변의 길이를 구하면 된다.

문제에서 주어진 정사각형의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm A(1,1),\ \mathrm B(3,1),\ \mathrm C(3,3),\ \mathrm D(1,3)$이고, 중심이 $\displaystyle (t,-t^2+3t)$인 정사각형의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P(t-1,-t^2+3t-1),\ \mathrm Q(t+1,-t^2+3t-1),\ \mathrm R(t+1,-t^2+3t+1),\ \mathrm S(t-1,-t^2+3t+1)$이 된다.[경우 1] $\displaystyle 0<t<1$이면 겹치는 부분은 두 변의 길이가 $\displaystyle t$와 $\displaystyle -t^2+3t$인 직사각형이므로 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=t(-t^2+3t)=-t^3+3t^2$이다.[경우 2] $\displaystyle 1\le t<2$이면 겹치는 부분은 두 변의 길이가 $\displaystyle t$와 $\displaystyle 3-(-t^2+3t-1)$인 직사각형이므로 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=t(t^2-3t+4)=t^3-3t^2+4t$이다.[경우 3] $\displaystyle 2\le t<3$이면 겹치는 부분은 두 변의 길이가 $\displaystyle 3-(t-1)$과 $\displaystyle (-t^2+3t+1)-1$인 직사각형이므로 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=(-t+4)(-t^2+3t)=t^3-7t^2+12t$이다.따라서 $\displaystyle f(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\begin{cases}-t^3+3t^2&(0\le t<1)\\t^3-3t^2+4t&(1\le t<2)\\t^3-7t^2+12t&(2\le t\le3)\end{cases}$

[경우 1] $\displaystyle 0\le t<1$이면 $\displaystyle f(t)=-t^3+3t^2$이고 $\displaystyle g(t)=2t$이므로$\displaystyle f(t)-g(t)=(-t^3+3t^2)-2t=-(t^3-3t^2+2t)=-t(t-1)(t-2)\le0$이다.[경우 2] $\displaystyle 1\le t<2$이면 $\displaystyle f(t)=t^3-3t^2+4t$이고 $\displaystyle g(t)=2t$이므로$\displaystyle f(t)-g(t)=(t^3-3t^2+4t)-2t=t^3-3t^2+2t=t(t-1)(t-2)\le0$이다.[경우 3] $\displaystyle 2\le t\le3$이면 $\displaystyle f(t)=t^3-7t^2+12t$이고 $\displaystyle g(t)=-4t+12$이므로$\displaystyle f(t)-g(t)=(t^3-7t^2+12t)-(-4t+12)=t^3-7t^2+16t-12=(t-2)^2(t-3)\le0$이다.모든 $\displaystyle 0\le t\le3$에 대하여 $\displaystyle f(t)-g(t)\le0$이므로 $\displaystyle \int_0^3|f(t)-g(t)|dt=\int_0^3\{g(t)-f(t)\}dt$가 되어$\displaystyle \int_0^3|f(t)-g(t)|dt=\int_0^1(t^3-3t^2+2t)dt+\int_1^2(-t^3+3t^2-2t)dt+\int_2^3(-t^3+7t^2-16t+12)dt$이다.이때 $\displaystyle \int_0^1(t^3-3t^2+2t)dt=\frac14,\ \int_1^2(-t^3+3t^2-2t)dt=\frac14,\ \int_2^3(-t^3+7t^2-16t+12)dt=\frac1{12}$이다.따라서 $\displaystyle \int_0^3|f(t)-g(t)|dt=\frac14+\frac14+\frac1{12}=\frac7{12}$이다.

(2) $\displaystyle 1<t<2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^2-6t+4=3(t-1)^2+1>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle 1\le t\le2$에서 증가한다.따라서 $\displaystyle S(a)=(a-1)f(a)-\int_1^a f(x)\,dx+\int_a^2 f(x)\,dx-(2-a)f(a)=(2a-3)f(a)-\int_1^a f(x)\,dx-\int_2^a f(x)\,dx$가 된다.

이때 $\displaystyle S^{\prime}(a)=2f(a)+(2a-3)f^{\prime}(a)-f(a)-f(a)=(2a-3)f^{\prime}(a)$이다.한편 $\displaystyle 1<a<2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(a)=0$인 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac32$뿐이다. 또한 $\displaystyle 1<a<\frac32$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)<0$이고 $\displaystyle \frac32<a<2$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)>0$이므로 $\displaystyle S(a)$는 $\displaystyle a=\frac32$에서 최솟값을 갖는다.