의·약학계 1-2번

[논제 Ⅰ-2](1)$\displaystyle X=20$인 경우: 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{4}\mathrm C_2\left(\frac12\right)^4=\frac3{16}$$\displaystyle X=22$인 경우: 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 6, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{4}\mathrm C_1\left(\frac12\right)^4=\frac18$$\displaystyle X=24$인 경우:(i) 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 6, 6, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times\left(\frac12\right)^4=\frac1{32}$

(ii) 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 4, 4 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times\left(\frac12\right)^6=\frac1{128}$$\displaystyle X=26$인 경우: 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 4, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{6}\mathrm C_1\left(\frac12\right)^6=\frac3{64}$$\displaystyle X=28$인 경우: 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{6}\mathrm C_2\left(\frac12\right)^6=\frac{15}{128}$

따라서$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\frac1{128}+\frac3{64}+\frac{15}{128}=\frac{11}{64}\quad\text{이고}\quad\mathrm P(A)=\frac3{16}+\frac18+\frac1{32}+\frac1{128}+\frac3{64}+\frac{15}{128}=\frac{33}{64}$이므로$\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}=\frac13$

(2) 한 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 $\displaystyle 2t$이고,서로 다른 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 $\displaystyle 10-2\sqrt3t$이다.$\displaystyle 2t\le10-2\sqrt3t$이면 $\displaystyle 2(\sqrt3+1)t\le10$이므로 $\displaystyle t\le\frac5{\sqrt3+1}=\frac{5(\sqrt3-1)}2$이다.또한 $\displaystyle 2t>10-2\sqrt3t$이면 $\displaystyle t>\frac{5(\sqrt3-1)}2$이다.$\displaystyle t_0=\frac{5(\sqrt3-1)}2$라고 하면 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}2t&(0<t\le t_0)\\10-2\sqrt3t&\left(t_0<t<\frac52\right)\end{cases}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to t_0-}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=2,\ \lim_{t\to t_0+}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=-2\sqrt3$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t_0)$가 존재하지 않는다.즉, 함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=t_0=\frac{5(\sqrt3-1)}2$에서 미분가능하지 않다. 이때 $\displaystyle f(t_0)=2t_0=5(\sqrt3-1)$이다.