의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1](1) $\displaystyle 0<t<3$이면 두 정사각형이 겹치는 부분은 $\displaystyle t$의 값에 따라 다른 크기의 직사각형이 된다. 따라서 각 경우에 대하여 직사각형의 두 변의 길이를 구하면 된다.

문제에서 주어진 정사각형의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm A(1,1),\ \mathrm B(3,1),\ \mathrm C(3,3),\ \mathrm D(1,3)$이고, 중심이 $\displaystyle (t,-t^2+3t)$인 정사각형의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P(t-1,-t^2+3t-1),\ \mathrm Q(t+1,-t^2+3t-1),\ \mathrm R(t+1,-t^2+3t+1),\ \mathrm S(t-1,-t^2+3t+1)$이 된다.[경우 1] $\displaystyle 0<t<1$이면 겹치는 부분은 두 변의 길이가 $\displaystyle t$와 $\displaystyle -t^2+3t$인 직사각형이므로 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=t(-t^2+3t)=-t^3+3t^2$이다.[경우 2] $\displaystyle 1\le t<2$이면 겹치는 부분은 두 변의 길이가 $\displaystyle t$와 $\displaystyle 3-(-t^2+3t-1)$인 직사각형이므로 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=t(t^2-3t+4)=t^3-3t^2+4t$이다.[경우 3] $\displaystyle 2\le t<3$이면 겹치는 부분은 두 변의 길이가 $\displaystyle 3-(t-1)$과 $\displaystyle (-t^2+3t+1)-1$인 직사각형이므로 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=(-t+4)(-t^2+3t)=t^3-7t^2+12t$이다.따라서 $\displaystyle f(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\begin{cases}-t^3+3t^2&(0\le t<1)\\t^3-3t^2+4t&(1\le t<2)\\t^3-7t^2+12t&(2\le t\le3)\end{cases}$

[경우 1] $\displaystyle 0\le t<1$이면 $\displaystyle f(t)=-t^3+3t^2$이고 $\displaystyle g(t)=2t$이므로$\displaystyle f(t)-g(t)=(-t^3+3t^2)-2t=-(t^3-3t^2+2t)=-t(t-1)(t-2)\le0$이다.[경우 2] $\displaystyle 1\le t<2$이면 $\displaystyle f(t)=t^3-3t^2+4t$이고 $\displaystyle g(t)=2t$이므로$\displaystyle f(t)-g(t)=(t^3-3t^2+4t)-2t=t^3-3t^2+2t=t(t-1)(t-2)\le0$이다.[경우 3] $\displaystyle 2\le t\le3$이면 $\displaystyle f(t)=t^3-7t^2+12t$이고 $\displaystyle g(t)=-4t+12$이므로$\displaystyle f(t)-g(t)=(t^3-7t^2+12t)-(-4t+12)=t^3-7t^2+16t-12=(t-2)^2(t-3)\le0$이다.모든 $\displaystyle 0\le t\le3$에 대하여 $\displaystyle f(t)-g(t)\le0$이므로 $\displaystyle \int_0^3|f(t)-g(t)|dt=\int_0^3\{g(t)-f(t)\}dt$가 되어$\displaystyle \int_0^3|f(t)-g(t)|dt=\int_0^1(t^3-3t^2+2t)dt+\int_1^2(-t^3+3t^2-2t)dt+\int_2^3(-t^3+7t^2-16t+12)dt$이다.이때 $\displaystyle \int_0^1(t^3-3t^2+2t)dt=\frac14,\ \int_1^2(-t^3+3t^2-2t)dt=\frac14,\ \int_2^3(-t^3+7t^2-16t+12)dt=\frac1{12}$이다.따라서 $\displaystyle \int_0^3|f(t)-g(t)|dt=\frac14+\frac14+\frac1{12}=\frac7{12}$이다.

(2) $\displaystyle 2<t<3$에서 $\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^2-14t+12=3\left(t-\frac73\right)^2-\frac{13}3$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)<0$이다. 그러므로 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle 2\le t\le3$에서 감소한다.따라서 $\displaystyle S(a)=\int_2^a f(x)\,dx-(a-2)f(a)+(3-a)f(a)-\int_a^3f(x)\,dx=\int_2^af(x)\,dx+\int_3^af(x)\,dx-(2a-5)f(a)$가 된다.

이때 $\displaystyle S^{\prime}(a)=f(a)+f(a)-2f(a)-(2a-5)f^{\prime}(a)=-(2a-5)f^{\prime}(a)$이다.한편 $\displaystyle 2<a<3$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)<0$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(a)=0$인 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac52$뿐이다. 또한 $\displaystyle 2<a<\frac52$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)<0$이고 $\displaystyle \frac52<a<3$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)>0$이므로 $\displaystyle S(a)$는 $\displaystyle a=\frac52$에서 최솟값을 갖는다.

[논제 Ⅰ-2](1)$\displaystyle X=20$인 경우: 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{4}\mathrm C_2\left(\frac12\right)^4=\frac3{16}$$\displaystyle X=22$인 경우: 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 6, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{4}\mathrm C_1\left(\frac12\right)^4=\frac18$$\displaystyle X=24$인 경우:(i) 첫 번째 분기점에서 네 갈래, 두 번째 분기점에서 6, 6, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times\left(\frac12\right)^4=\frac1{32}$

(ii) 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 4, 4 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times\left(\frac12\right)^6=\frac1{128}$$\displaystyle X=26$인 경우: 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 4, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{6}\mathrm C_1\left(\frac12\right)^6=\frac3{64}$$\displaystyle X=28$인 경우: 첫 번째 분기점에서 여섯 갈래, 두 번째 분기점에서 4, 4, 4, 4, 6, 6 갈래로 갈라지는 경우의 확률은$\displaystyle \frac12\times{}_{6}\mathrm C_2\left(\frac12\right)^6=\frac{15}{128}$

따라서$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\frac1{128}+\frac3{64}+\frac{15}{128}=\frac{11}{64}\quad\text{이고}\quad\mathrm P(A)=\frac3{16}+\frac18+\frac1{32}+\frac1{128}+\frac3{64}+\frac{15}{128}=\frac{33}{64}$이므로$\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}=\frac13$

(2) 한 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 $\displaystyle 2t$이고,서로 다른 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 $\displaystyle 10-2\sqrt3t$이다.$\displaystyle 2t\le10-2\sqrt3t$이면 $\displaystyle 2(\sqrt3+1)t\le10$이므로 $\displaystyle t\le\frac5{\sqrt3+1}=\frac{5(\sqrt3-1)}2$이다.또한 $\displaystyle 2t>10-2\sqrt3t$이면 $\displaystyle t>\frac{5(\sqrt3-1)}2$이다.$\displaystyle t_0=\frac{5(\sqrt3-1)}2$라고 하면 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}2t&(0<t\le t_0)\\10-2\sqrt3t&\left(t_0<t<\frac52\right)\end{cases}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to t_0-}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=2,\ \lim_{t\to t_0+}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=-2\sqrt3$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t_0)$가 존재하지 않는다.즉, 함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=t_0=\frac{5(\sqrt3-1)}2$에서 미분가능하지 않다. 이때 $\displaystyle f(t_0)=2t_0=5(\sqrt3-1)$이다.