의·약학계 1-2번

[논제 Ⅰ-2] (1) 주어진 자연수가 1, 1, 2, 2이면 이 중 어떠한 3개의 수를 선택해도 합이 3으로 나누어떨어지지 않는다. 따라서 $\displaystyle n\ge5$이다.

$\displaystyle n=5$인 경우를 생각하자. 임의의 자연수를 3으로 나눈 나머지를 생각하면 0, 1, 2이다.(i) 5개의 자연수를 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2중에 하나만 나타나는 경우이때는 5개의 자연수 중 임의의 3개를 선택하면 항상 합이 3으로 나누어떨어진다.(ii) 5개의 자연수를 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2중에 두 개만 나타나는 경우두 종류의 나머지 중 적어도 하나는 3번 이상 나타난다. 따라서 이 3개의 수를 더하면 3으로 나누어떨어진다.(ii) 5개의 자연수를 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2 모두 나타나는 경우Correction. 세 번째 경우의 번호 $\displaystyle (ii)$는 $\displaystyle (iii)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 경우에는 나머지가 0, 1, 2인 세 개의 수를 더하면 3으로 나누어떨어진다.따라서 $\displaystyle n=5$일 때는 항상 합이 3으로 나누어떨어지는 3개의 수를 찾을 수 있으므로 $\displaystyle n$의 최소값은 5이다.

(2) 1이 8개, 2가 8개 있다고 하자. 이들 중에서 9개를 임의로 선택했을 때 1이 $\displaystyle x$개가 선택되었다면 이 9개의 수의 합은 $\displaystyle x+2(9-x)=18-x$이다. $\displaystyle 1\le x\le8$이므로 어떤 경우든지 합이 9로 나누어떨어지지 않는다.

(1)에 의해서 5개의 자연수 중에는 항상 합이 3으로 나누어떨어지는 3개의 자연수를 찾을 수 있다. 즉 17개의 자연수 중에는 합이 3으로 나누어떨어지는 세 자연수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$을 찾을 수 있다. $\displaystyle a_1+a_2+a_3=3k_1$이라고 하자. 남은 14개의 자연수 중에는 합이 3으로 나누어떨어지는 세 자연수 $\displaystyle a_4,a_5,a_6$을 찾을 수 있다. $\displaystyle a_4+a_5+a_6=3k_2$라고 하자. 반복적으로 하면, $\displaystyle a_7+a_8+a_9=3k_3,\ a_{10}+a_{11}+a_{12}=3k_4,\ a_{13}+a_{14}+a_{15}=3k_5$인 자연수 $\displaystyle a_7,a_8,\cdots,a_{15}$를 찾을 수 있다.마지막으로 $\displaystyle k_1,k_2,k_3,k_4,k_5$ 중에 합이 3으로 나누어떨어지는 3개의 자연수를 찾을 수 있다. 편의상 $\displaystyle k_1,k_2,k_3$라고 하면 $\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_9$는 9로 나누어떨어진다.따라서 $\displaystyle n=17$일 때는 항상 합이 9로 나누어떨어지는 9개의 수를 찾을 수 있으므로 $\displaystyle n$의 최소값은 17이다.