의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1] (1) 타원과 직선의 교점 중 하나를 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라고 하면, 다른 교점은 $\displaystyle (-x_1,-y_1)$이다. 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}-1=0$ 이므로,

이 접선과 점 $\displaystyle (-x_1,-y_1)$ 사이의 거리는$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left|\frac{x_1(-x_1)}{a^2}+\frac{y_1(-y_1)}{b^2}-1\right|}{\sqrt{\left(\frac{x_1}{a^2}\right)^2+\left(\frac{y_1}{b^2}\right)^2}}&=\frac2{\sqrt{\left(\frac1{a^4}+\frac{m^2}{b^4}\right)x_1^2}}\\&=\frac2{\sqrt{\left(\frac1{a^4}+\frac{m^2}{b^4}\right)\left(\frac{a^2b^2}{b^2+m^2a^2}\right)}}=2ab\sqrt{\frac{a^2m^2+b^2}{a^4m^2+b^4}}\end{aligned}$이다.

(2) $\displaystyle C_2$의 방정식은 $\displaystyle \frac{(y-10-v)^2}9+\frac{(x-20-u)^2}{16}=1$이고, $\displaystyle C_3$의 방정식은 $\displaystyle \frac{(x-10-(u+v))^2}9+\frac{(y-20-(u+v))^2}{16}=1$이다. 따라서 $\displaystyle C_3$는 $\displaystyle C_1$을 $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle u+v$만큼, $\displaystyle y$축 방향으로 $\displaystyle u+v$만큼 평행이동하여 얻은 타원이다.

한편 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$와 직선 $\displaystyle y=x$가 제1사분면에서 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm P(k,k)$라 하면, P가 타원 위의 점이므로, $\displaystyle \frac{k^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=1$이고, $\displaystyle k$가 양수이므로, $\displaystyle k=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P(k,k)$에서 타원에 접하는 접선을 $\displaystyle l_1$이라 하면 그 방정식은 $\displaystyle \frac{kx}{a^2}+\frac{ky}{b^2}=1$이고, 점 $\displaystyle \mathrm Q(-k,-k)$에서 타원에 접하는 접선 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle \frac{-kx}{a^2}+\frac{-ky}{b^2}=1$이다. 이제 $\displaystyle l_2$를 $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle 2k$, $\displaystyle y$축 방향으로 $\displaystyle 2k$만큼 평행이동한 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{-k(x-2k)}{a^2}+\frac{-k(y-2k)}{b^2}=1$로서, $\displaystyle l_1$의 방정식과 같다. 따라서 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$과 $\displaystyle \frac{(x-2k)^2}{a^2}+\frac{(y-2k)^2}{b^2}=1$은 $\displaystyle \mathrm P(k,k)$에서 공통인 접선을 가지고 결국 서로 한 점에서 만난다.그러므로 $\displaystyle u+v=2\times\frac{3\times4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{24}5$일 때, $\displaystyle C_3$와 $\displaystyle C_1$이 접하게 된다. 따라서 $\displaystyle C_3$와 $\displaystyle C_1$이 서로 만나기 위해서는 $\displaystyle u+v\le\frac{24}5$을 만족하여야 한다.

이를 만족하는 음이 아닌 정수의 쌍 $\displaystyle (u,v)$는 $\displaystyle (0,0),\ (0,1),\ (0,2),\ (0,3),\ (0,4),\ (1,0),\ (1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,0),\ (2,1),\ (2,2),\ (3,0),\ (3,1),\ (4,0)$이므로 그 개수는 모두 15개이다.

[논제 Ⅰ-2] (1) 주어진 자연수가 1, 1, 2, 2이면 이 중 어떠한 3개의 수를 선택해도 합이 3으로 나누어떨어지지 않는다. 따라서 $\displaystyle n\ge5$이다.

$\displaystyle n=5$인 경우를 생각하자. 임의의 자연수를 3으로 나눈 나머지를 생각하면 0, 1, 2이다.(i) 5개의 자연수를 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2중에 하나만 나타나는 경우이때는 5개의 자연수 중 임의의 3개를 선택하면 항상 합이 3으로 나누어떨어진다.(ii) 5개의 자연수를 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2중에 두 개만 나타나는 경우두 종류의 나머지 중 적어도 하나는 3번 이상 나타난다. 따라서 이 3개의 수를 더하면 3으로 나누어떨어진다.(ii) 5개의 자연수를 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2 모두 나타나는 경우Correction. 세 번째 경우의 번호 $\displaystyle (ii)$는 $\displaystyle (iii)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 경우에는 나머지가 0, 1, 2인 세 개의 수를 더하면 3으로 나누어떨어진다.따라서 $\displaystyle n=5$일 때는 항상 합이 3으로 나누어떨어지는 3개의 수를 찾을 수 있으므로 $\displaystyle n$의 최소값은 5이다.

(2) 1이 8개, 2가 8개 있다고 하자. 이들 중에서 9개를 임의로 선택했을 때 1이 $\displaystyle x$개가 선택되었다면 이 9개의 수의 합은 $\displaystyle x+2(9-x)=18-x$이다. $\displaystyle 1\le x\le8$이므로 어떤 경우든지 합이 9로 나누어떨어지지 않는다.

(1)에 의해서 5개의 자연수 중에는 항상 합이 3으로 나누어떨어지는 3개의 자연수를 찾을 수 있다. 즉 17개의 자연수 중에는 합이 3으로 나누어떨어지는 세 자연수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$을 찾을 수 있다. $\displaystyle a_1+a_2+a_3=3k_1$이라고 하자. 남은 14개의 자연수 중에는 합이 3으로 나누어떨어지는 세 자연수 $\displaystyle a_4,a_5,a_6$을 찾을 수 있다. $\displaystyle a_4+a_5+a_6=3k_2$라고 하자. 반복적으로 하면, $\displaystyle a_7+a_8+a_9=3k_3,\ a_{10}+a_{11}+a_{12}=3k_4,\ a_{13}+a_{14}+a_{15}=3k_5$인 자연수 $\displaystyle a_7,a_8,\cdots,a_{15}$를 찾을 수 있다.마지막으로 $\displaystyle k_1,k_2,k_3,k_4,k_5$ 중에 합이 3으로 나누어떨어지는 3개의 자연수를 찾을 수 있다. 편의상 $\displaystyle k_1,k_2,k_3$라고 하면 $\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_9$는 9로 나누어떨어진다.따라서 $\displaystyle n=17$일 때는 항상 합이 9로 나누어떨어지는 9개의 수를 찾을 수 있으므로 $\displaystyle n$의 최소값은 17이다.