자연계열 I 1번

경북대 2016학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2016mo/jayeon1_1

【제시문 1】

함수 $\displaystyle f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 임의의 두 수 $\displaystyle x_1,x_2$ 에 대하여 $\displaystyle x_1<x_2$ 이면 $\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소한다고 한다.만약 함수 $\displaystyle f(x),\ g(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소하면 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)$ 도 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소한다.

【제시문 2】

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a)f(b)<0$ 이면 $\displaystyle f(x_0)=0$ 인 $\displaystyle x_0$ 가 $\displaystyle (a,b)$ 에 존재한다. 더욱이 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소하면 $\displaystyle f(x_0)=0$ 인 $\displaystyle x_0$ 는 $\displaystyle (a,b)$ 에서 유일하다.

【제시문 3】

함수 $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(x+T)$ 를 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 만족시키는 0이 아닌 상수 $\displaystyle T$ 가 존재할 때 $\displaystyle f(x)$ 를 주기함수라 하고, 상수 $\displaystyle T$ 중에서 가장 작은 양수를 $\displaystyle f(x)$ 의 주기라고 한다.함수 $\displaystyle f(x)$ 가 주기 $\displaystyle T$ 인 주기함수이면 임의의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=f(nx)$ 는 주기가 $\displaystyle \frac{T}{n}$ 인 주기함수이다. 예를 들어 $\displaystyle y=\sin x$ 는 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 인 주기함수이므로 $\displaystyle y=\sin8x$ 는 주기가 $\displaystyle \frac\pi4$ 인 주기함수이다.

【물음 1】 $\displaystyle 0<a,b<1$ 인 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle a^x+b^x=k(x+1)$ 이 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 해를 유일하게 갖도록 하는 $\displaystyle k$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ , 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 하자. 【제시문 1】과 【제시문 2】를 이용하여 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle a=\frac13$ 이고 $\displaystyle b=\frac12$ 일 때, $\displaystyle M$ 과 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오. (15점)(2) $\displaystyle M-m=\frac32$ 일 때, $\displaystyle ab$ 의 최댓값을 구하시오. (15점)

【물음 2】【제시문 1】과 【제시문 2】를 이용하여 방정식 $\displaystyle 3^x+4^x=5^x(4x-2x^2)$ 의 해의 합을 $\displaystyle S$ 라 하면 $\displaystyle S>2$ 임을 증명하시오. (15점)

【물음 3】 $\displaystyle n$ 이 자연수일 때 방정식 $\displaystyle 1+2^x+3^x+\cdots+n^x=(n+1)^{x+1}\sin(2^nx)$ 에 대하여 【제시문 1】, 【제시문 2】, 【제시문 3】을 이용하여 다음 물음에 답하시오.(1) 구간 $\displaystyle [0,\pi]$ 에서 위의 방정식의 해의 개수를 $\displaystyle a_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{a_n}\right)^2$ 의 값을 구하시오. (20점)(2) 구간 $\displaystyle [0,\pi]$ 에서 위의 방정식의 가장 작은 두 해를 $\displaystyle x_1,x_2$ 라 할 때, $\displaystyle x_1+x_2>\frac{\pi}{2^n}$ 임을 증명하시오. (10점)(3) 구간 $\displaystyle [0,\pi]$ 에서 위의 방정식의 모든 해의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle S_n>2^{n-2}\pi$ 임을 증명하시오. (25점)

해설강의 준비중

경북대 2016학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2016mo/jayeon1_1

[물음 1]함수 $\displaystyle f(x)=a^x+b^x$ , $\displaystyle g(x)=-k(x+1)$ 라 하면 [제시문1], [제시문2]에 의하여 $\displaystyle \frac{a+b}{2}\le k\le2$ 일 때만 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 의 해가 존재한다.Correction. 예시답안의 $\displaystyle g(x)=-k(x+1)$ 은 $\displaystyle g(x)=k(x+1)$ 의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

+10점 · 제시문에 의해 조건을 찾으면

(1) $\displaystyle a=\frac13,\ b=\frac12$

+5점 · 조건으로부터

\displaystyle M=2,\ m=\frac5{12}

를 구하면

이므로 $\displaystyle m=\frac{a+b}{2}=\frac5{12},\ M=2$ 이다.

+10점 · 조건으로부터

\displaystyle a+b=1

을 구하면

(2) $\displaystyle M-m=\frac32$ 이므로 $\displaystyle a+b=1$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle ab

의 최댓값이

\displaystyle \frac14

를 구하면

따라서 $\displaystyle ab$ 의 최댓값은 $\displaystyle \frac14$ 이다.

+5점 · 함수의 그래프로부터

\displaystyle x_1,\ x_2

의 위치를 구하면

[물음 2]함수 $\displaystyle f(x)=\left(\frac35\right)^x+\left(\frac45\right)^x$ , $\displaystyle g(x)=4x-2x^2$ 의 그래프로부터 해는 2개 존재한다. 그 해를 각각 $\displaystyle x_1,x_2$ 라 하면

+10점 · 감소함수의 성질과 대칭성을 이용하여

\displaystyle 1-x_1<x_2-1

즉

\displaystyle x_1+x_2>2

를 구하면

$\displaystyle x=1$ 을 중심으로 거리를 비교하면 $\displaystyle 1-x_1<x_2-1$ 이다. 따라서 $\displaystyle S=x_1+x_2>2$ 이다.

[물음 3]함수 $\displaystyle f(x)=1+\left(\frac2{n+1}\right)^x+\left(\frac3{n+1}\right)^x+\cdots+\left(\frac{n}{n+1}\right)^x$ , $\displaystyle g(x)=(n+1)\sin(2^nx)$ 라 하고　 $\displaystyle I_1=\left[0,\frac\pi{2^n}\right]$ , $\displaystyle I_2=\left[\frac\pi{2^n},\frac{2\pi}{2^n}\right]$ , $\displaystyle I_3=\left[\frac{2\pi}{2^n},\frac{3\pi}{2^n}\right]$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle I_{2^n}=\left[\frac{(2^n-1)\pi}{2^n},\pi\right]$ 라 하자.Correction. 물음 3의 방정식을 $\displaystyle (n+1)^x$ 로 나누어 얻는 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 첫 항은 1이 아니라 $\displaystyle (1/(n+1))^x$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · 구간

\displaystyle I_1=\left[0,\frac{\pi}{2^n}\right]

에서 근의 개수가 2개임을 보이면

(1) 각 $\displaystyle I_{2k-1}$ 에서 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 의 해는 2개

+10점 · 사인함수의 주기성을 이용하여 모든 근의 개수를 구하여

\displaystyle a_n=2^n

을 구하면

이므로 해의 개수 $\displaystyle a_n=2^n$ 이다.

+5점 · 등비급수의 합을 이용하여

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{a_n}\right)^2=\frac13

을 구하면

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{a_n}\right)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{4^n}=\frac13$ 이다.

+5점 · 구간에서 2개의 근의 위치의 범위를 말하면

(2) 구간 $\displaystyle I_1$ 에서 두 해가 $\displaystyle x_1,x_2$ 이다.

+5점 · 감소함수의 성질과 대칭성을 이용하여

\displaystyle S>\frac{\pi}{2^n}

을 보이면

$\displaystyle x=\frac\pi{2^{n+1}}$ 을 중심으로 거리를 비교하면 $\displaystyle x_M-x_1<x_2-x_M$ 이다. 따라서 $\displaystyle x_1+x_2>2x_M=\frac\pi{2^n}$ 이다.

+10점 · 삼각함수의 주기성에 의하여 구간

\displaystyle I_{2k-1}=\left[\frac{(2k-2)\pi}{2^n},\frac{(2k-1)\pi}{2^n}\right]

에서 두 근의 합이

\displaystyle >\frac{(2k-1)\pi}{2^n}

를 보이면

Correction. 물음 3-(3)은 25점이지만, 대학이 제시한 채점기준에는 각 구간에서 두 근의 합의 하한을 보이는 과정에 10점만 배정되어 있다. 나머지 15점의 세부 채점기준은 원문에 제시되어 있지 않다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) 구간 $\displaystyle I_{2k-1}$ 에서 두 근의 합은 $\displaystyle \frac{(2k-1)\pi}{2^n}$ 보다 크다. 따라서 모든 해의 합 $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle S_n>\frac\pi{2^n}+\frac{3\pi}{2^n}+\cdots+\frac{(2^n-1)\pi}{2^n}=2^{n-2}\pi$ 이다.

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