자연계열 I 2번

[물음 1](1) $\displaystyle x$를 임의의 양수 라고 하자. (조건 2)와 (조건3)을 이용하면$\displaystyle \frac{g(x)-g(-x)}{2x}=\frac{f(x+1)-f(-x+1)}{2x}=f^{\prime}(1)=0$이므로 $\displaystyle g(x)=g(-x)$가 성립한다. 그러므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 우함수이다.

(2) (조건1)을 다시 고쳐 쓰면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-x}^x(f(x+1)-f(t+1))dt&=\int_{-x}^x(g(x)-g(t))dt\\&=2\int_0^x(g(x)-g(t))dt\\&=ax(g(x)-a).\end{aligned}$　……①$\displaystyle 2\int_0^x(g(x)-g(t))dt=ax(g(x)-a)$를 다시 고쳐 쓰면$\displaystyle 2xg(x)-2\int_0^x g(t)dt=ax(g(x)-a)$이므로 양변을 $\displaystyle x$에 관하여 미분하면$\displaystyle 2g(x)+2xg^{\prime}(x)-2g(x)=a(g(x)-a)+axg^{\prime}(x)$ ……②한편, $\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x+1)$이므로$\displaystyle 2xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)+axf^{\prime}(x+1)$이 식을 정리하여 간단히 하면$\displaystyle (2-a)xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)$

(3) $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac32\right)$를 구하기 위하여 [물음1]의 (조건2)를 사용한다. 먼저 $\displaystyle x=0$을 $\displaystyle (2-a)xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)$에 대입하면 $\displaystyle f(1)=a$를 얻는다.$\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f^{\prime}\left(\frac32\right)$이므로 $\displaystyle f(2)=2a,\ f(1)=a$를 대입하면$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac32\right)=a$.　……①(2)의 결과를 이용하면$\displaystyle (2-a)\frac12f^{\prime}\left(\frac32\right)=a\left(f\left(\frac32\right)-a\right)$이므로$\displaystyle f\left(\frac32\right)=1+\frac a2$.　……②한편, $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac32\right)=a$이므로 $\displaystyle \tan\theta=a$. $\displaystyle \therefore\cos\theta=\frac1{\sqrt{1+a^2}}$

(4) 삼각형의 밑변을 $\displaystyle (1,a),\ (2,2a)$라고 하면 길이는 $\displaystyle \sqrt{1+a^2}$, 높이는 $\displaystyle \left(\frac32,1+\frac a2\right)$로부터의 거리이다. 두 점 $\displaystyle (1,a),\ (2,2a)$을 연결하는 직선의 방정식은$\displaystyle y=ax$이므로 직선 $\displaystyle x=\frac32$와 이 직선 $\displaystyle y=ax$의 교점은 $\displaystyle \left(\frac32,\frac{3a}{2}\right)$그러므로 점$\displaystyle \left(\frac32,\frac{3a}{2}\right)$와 점$\displaystyle \left(\frac32,1+\frac a2\right)$사이의 거리는 $\displaystyle a-1$.따라서 삼각형의 높이는 $\displaystyle (a-1)\times\cos\theta=\frac{a-1}{\sqrt{1+a^2}}$그러므로, 구하는 삼각형의 면적은 $\displaystyle \frac12\times\sqrt{1+a^2}\times\frac{a-1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{a-1}{2}$

[물음 2](1) $\displaystyle t>0$일 때 함수 $\displaystyle f(x)$는 아래로 볼록하고 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(t)>0$. (조건1)과 (조건2)를 이용하면$\displaystyle \int_{-t}^t(f(t)-f(x))dx=a\times\frac12\times2t\times f(t)=atf(t)$

(2) 위의 (1)과 (조건1)을 이용하면$\displaystyle \int_{-t}^t(f(t)-f(x))dx=2\int_0^t(f(t)-f(x))dx=2tf(t)-2\int_0^t f(x)dx$$\displaystyle =atf(t)$$\displaystyle \therefore2\int_0^t f(x)dx=(2-a)tf(t)$ ……①$\displaystyle t=1$을 대입하면$\displaystyle \int_0^1(f(t))dt=\frac a2(2-a)$