자연계열 I 2번

【2-1】등차수열 $\displaystyle {a_n}$의 공차를 $\displaystyle d$라고 하면 $\displaystyle a_1=35$이므로 (가)에 의하여$\displaystyle 8=a_k=a_1+(k-1)d=35+(k-1)d$$\displaystyle 215=S_k=\frac{k(a_1+a_k)}2=\frac{k(35+a_k)}2=\frac{43k}2$이다.

(2) $\displaystyle a_5=38-3\times5=23$

(3) $\displaystyle f(n)=a_n+S_n$이라 하면$\displaystyle f(n)=-\frac12(3n^2-67n)+38$이다.

$\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle f(n)$은 $\displaystyle n=11$일 때, $\displaystyle f(11)=225$를 갖는다.

【2-2】(1) $\displaystyle \alpha=\log_23$이면 $\displaystyle 2^\alpha=3$이므로 $\displaystyle f(\alpha)=g(\alpha)$

로부터 $\displaystyle k=\frac{17}3$이다.

(2) 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 함수$\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=4^x+8-k\cdot2^x$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 두 점에서 만나는 경우이다. 함수 $\displaystyle h(x)$를 미분하면$\displaystyle h^{\prime}(x)=2^x\ln2\,(2^{x+1}-k)$이다.(i) $\displaystyle k\le0$인 경우: 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 증가하므로 $\displaystyle x$축과 두 점에서 만날 수 없다.(ii) $\displaystyle k>0$인 경우: $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$로부터 $\displaystyle x=\ln\frac k2$일 때 $\displaystyle h(x)$는 최솟값 $\displaystyle 8-\frac{k^2}4$를 갖는다. 도함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)$의 부호를 이용하여 함수의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

또한 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty,\ \lim_{x\to-\infty}h(x)=8$이므로 $\displaystyle h\left(\ln\frac k2\right)<0$이면 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다. 그러므로 $\displaystyle 8-\frac{k^2}4<0$, 즉 $\displaystyle k>4\sqrt2$이다. 따라서 $\displaystyle k_0=4\sqrt2$이다.Correction. 본풀이에서 두 번 쓰인 $\displaystyle \ln\frac{k}{2}$와 본풀이 증감표의 경계값 $\displaystyle \frac32$는 모두 $\displaystyle \log_2\frac{k}{2}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.[별해] 함수 $\displaystyle h(x)=2^x+8\cdot2^{-x}$라 할 때, $\displaystyle h(x)=k$가 서로 다른 두 실근을 갖는 $\displaystyle k$의 값과 같다. $\displaystyle h^{\prime}(x)=2^{-x}\ln2\,(4^x-8)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\frac32$일 때 최솟값 $\displaystyle h\left(\frac32\right)=4\sqrt2$를 갖는다. 또 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x<\frac32$이면 감소하고 $\displaystyle x>\frac32$이면 증가하고, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty,\ \lim_{x\to-\infty}h(x)=\infty$이다. 따라서 $\displaystyle h(x)=k$는 $\displaystyle k<4\sqrt2$이면 해가 없고, $\displaystyle k=4\sqrt2$이면 한 개의 실근을 갖고, $\displaystyle k>4\sqrt2$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.[별해] 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 방정식$\displaystyle f(x)-g(x)=4^x+8-k\cdot2^x=0$가 서로 다른 두 실근을 갖는 경우이다. $\displaystyle t=2^x$라 하면 $\displaystyle t>0$이고 $\displaystyle t$는 $\displaystyle x$가 증가하면 증가하므로 $\displaystyle t^2-kt+8=0$이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는 경우와 같다. 그러므로$\displaystyle D=k^2-32>0$이고 $\displaystyle \frac k2>0$이다. 따라서 $\displaystyle k>4\sqrt2$이다.