자연계열 I 1번

[물음 1](1) 먼저 각 주머니에서 꺼낸 공의 색깔이 모두 다른 경우의 사건을 $\displaystyle A$라고 하면 꺼낸 4개의 공 중에서 같은 색깔이 있는 사건은 사건 $\displaystyle A$에 대한 여사건 $\displaystyle A^c$으로 그 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)$으로 구해진다. 각 주머니에서 2개의 공을 꺼내는 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_7\mathrm{C}_2\times{}_7\mathrm{C}_2=\frac{7\times6}{2\times1}\times\frac{7\times6}{2\times1}=441$이고 각 주머니에서 꺼낸 공의 색깔이 모두 다른 경우의 수는 $\displaystyle {}_7\mathrm{C}_2\times{}_5\mathrm{C}_2=\frac{7\times6}{2\times1}\times\frac{5\times4}{2\times1}=210$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{{}_7\mathrm{C}_2\times{}_5\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2\times{}_7\mathrm{C}_2}=\frac{{}_5\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2}=\frac{10}{21}$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$이다.(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cup B^c)=\frac23$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=1-\frac23=\frac13$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A\cap B^c)$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac13+\frac16=\frac12$이다.두 사건 $\displaystyle A,B$가 독립이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\frac13=\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)=\frac12\times\mathrm{P}(B)$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac23$이다.

따라서 $\displaystyle (b+c)-(a+d)\ge\frac18$은 $\displaystyle (3p(1-p))-(1-3p(1-p))\ge\frac18$이고$\displaystyle p^2-p+\frac3{16}=\left(p-\frac14\right)\left(p-\frac34\right)\le0$이므로 $\displaystyle \frac14\le p\le\frac34$이다.(2) 확률변수 $\displaystyle X$가 $\displaystyle B(3,p)$인 이항분포이므로 분산은 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=3p(1-p)$로 $\displaystyle p=\frac12$에서 최대가 된다. 따라서 이때의 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=3p=3\times\frac12=\frac32$이고 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=3p(1-p)=3\times\frac12\times\frac12=\frac34$이다.

[물음 3](1) $\displaystyle n$이 제곱수이면 $\displaystyle n=a^2$에 대해 $\displaystyle a>2$이면$\displaystyle (n-1)!=1\times2\times\cdots\times a\times\cdots\times2a\times\cdots\times(n-1)$이므로 $\displaystyle n$으로 나누어떨어진다. 단, $\displaystyle n=4$이면 $\displaystyle (4-1)!=6$이므로 4로 나누어떨어지지 않는다. $\displaystyle n$이 소수이면 1과 $\displaystyle n$이외에는 약수가 없으므로 $\displaystyle (n-1)!$은 $\displaystyle n$으로 나누어떨어지지 않는다. 단, $\displaystyle n$이 제곱수가 아닌 합성수이면 $\displaystyle n=n_1\times n_2$ (단, $\displaystyle 1<n_1<n_2<n$)인 약수 $\displaystyle n_1$과 $\displaystyle n_2$를 가지므로$\displaystyle (n-1)!=1\times2\times\cdots\times n_1\times\cdots\times n_2\times\cdots\times(n-1)$은 $\displaystyle n$으로 나누어떨어진다. 따라서 [조건 1]과 [조건 2]를 만족하는 집합은 $\displaystyle A=\{2,3,4,5,7\}$이다.(2) 2이상의 소수 $\displaystyle n$의 경우에는 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k$ ($\displaystyle 1\le k\le n-1$)이 $\displaystyle n$의 배수가 되는 $\displaystyle k$의 개수가 $\displaystyle n-1$이고, $\displaystyle n=4$인 경우에는 $\displaystyle {}_4\mathrm{C}_k$ ($\displaystyle 1\le k\le3$)이 4의 배수가 되는 $\displaystyle k$의 개수는 2이다.따라서 $\displaystyle x_1=1,x_3=2,x_4=2,x_5=4,x_7=6$이므로 집합 $\displaystyle B=\{1,2,4,6\}$이고 모든 원소의 합은 13이다.