경북대 2018학년도 모의 자연계열 I 1번 해설

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)표본공간 $\displaystyle S$ 의 임의의 사건 $\displaystyle A$ 에 대하여, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 를 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ 로 정의하면, $\displaystyle \varnothing\subset A\subset S$ 이므로 다음이 성립한다 (단, $\displaystyle n(A)$ 는 사건 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수이다).(1) 임의의 사건 $\displaystyle A$ 에 대하여, $\displaystyle 0\le\mathrm{P}(A)\le1$ 이고 사건 $\displaystyle A$ 에 대한 여사건 $\displaystyle A^c$ 의 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)$ 이다.(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$ 이고 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립이면 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$ 이다.

(나)이산확률변수 $\displaystyle X$ 가 $\displaystyle x_i$ 의 값을 가질 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i$ ( $\displaystyle i=1,2,\cdots,n$ )라고 할 때, $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$ 과 확률 $\displaystyle p_1,p_2,\cdots,p_n$ 사이의 대응 관계를 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포라고 한다. 이때 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 $\displaystyle \mathrm{E}(X)$ 과 분산 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$ 은 각각 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{i=1}^nx_i\mathrm{P}(X=x_i)=\sum_{x=1}^nx_ip_i$ Correction. 기댓값을 나타내는 둘째 합의 하한 $\displaystyle x=1$ 은 $\displaystyle i=1$ 의 오기이다. 합하는 항은 $\displaystyle x_i p_i$ 이므로 첨자 $\displaystyle i$ 가 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle n$ 까지 변한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)^2p_i$ (단, $\displaystyle m=\mathrm{E}(X)$ )

(다)1부터 $\displaystyle n$ 까지의 자연수를 차례대로 곱한 것을 $\displaystyle n$ 의 계승이라고 하며, 기호로 $\displaystyle n!$ 과 같이 나타낸다. 즉, $\displaystyle n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1$ 이다.서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 조합의 수는 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ (단, $\displaystyle 0\le r\le n$ )이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】(가) 를 이용하여 다음의 물음에 답하시오.(1) 2개의 주머니에는 각각 빨강, 주황, 노랑, 초록, 파랑, 남색, 보라색을 가지는 7개의 공이 들어있다고 하자. 각 주머니에서 임의로 2개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 4개의 공 중에서 같은 색깔의 공이 있을 확률을 구하시오. (15점)(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립이고, $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cup B^c)=\frac23,\ \mathrm{P}(A\cap B^c)=\frac16$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(B)$ 의 값을 구하시오. (15점)

【1-2】완치율이 $\displaystyle p$ 인 새로운 수술법을 적용하여 3명의 환자를 수술하였을 때, 완치되는 환자의 수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하자. 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle X$	0	1	2	3	합계
$\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$	$\displaystyle a$	$\displaystyle b$	$\displaystyle c$	$\displaystyle d$	1

(1) $\displaystyle (b+c)-(a+d)\ge\frac18$ 를 만족하는 $\displaystyle p$ 의 범위를 구하시오. (15점)(2) (나)를 이용하여 분산 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$ 가 최대일 때의 $\displaystyle p$ 를 구하고 그 때의 $\displaystyle \mathrm{E}(X)$ 와 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$ 의 값을 구하시오. (15점)

【1-3】다음 두 조건을 만족시키는 자연수 $\displaystyle m$ 을 원소로 갖는 집합을 $\displaystyle A$ 라 하자.[조건 1] $\displaystyle 2\le m\le10$ [조건 2] $\displaystyle (m-1)!$ 이 $\displaystyle m$ 으로 나누어떨어지지 않는다.다음의 물음에 답하시오.(1) 집합 $\displaystyle A$ 를 원소나열법으로 나타내시오. (20점)(2) 2이상의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k$ ( $\displaystyle 1\le k\le n-1$ )가 $\displaystyle n$ 의 배수가 되는 자연수 $\displaystyle k$ 의 개수를 $\displaystyle x_n$ 이라 하자. 집합 $\displaystyle B=\{x_n\mid n\in A\}$ 라 할 때, $\displaystyle B$ 의 모든 원소의 합을 구하시오. (20점)

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+30점 · 1. 순열과 조합을 이용하여 사건의 경우의 수를 구하고 이를 이용하여 확률을 구하였는가? 그리고 이를 위해 여사건의 성질을 이용하였는가? 2. 확률의 기본성질인 덧셈정리, 여사건 그리고 독립의 성질을 이용하여 확률을 구하였는가?

[물음 1](1) 먼저 각 주머니에서 꺼낸 공의 색깔이 모두 다른 경우의 사건을 $\displaystyle A$ 라고 하면 꺼낸 4개의 공 중에서 같은 색깔이 있는 사건은 사건 $\displaystyle A$ 에 대한 여사건 $\displaystyle A^c$ 으로 그 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)$ 으로 구해진다. 각 주머니에서 2개의 공을 꺼내는 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_7\mathrm{C}_2\times{}_7\mathrm{C}_2=\frac{7\times6}{2\times1}\times\frac{7\times6}{2\times1}=441$ 이고 각 주머니에서 꺼낸 공의 색깔이 모두 다른 경우의 수는 $\displaystyle {}_7\mathrm{C}_2\times{}_5\mathrm{C}_2=\frac{7\times6}{2\times1}\times\frac{5\times4}{2\times1}=210$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{{}_7\mathrm{C}_2\times{}_5\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2\times{}_7\mathrm{C}_2}=\frac{{}_5\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2}=\frac{10}{21}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$ 이다.(2) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A^c\cup B^c)=\frac23$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=1-\frac23=\frac13$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A\cap B^c)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac13+\frac16=\frac12$ 이다.두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 독립이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\frac13=\mathrm{P}(A)\times\mathrm{P}(B)=\frac12\times\mathrm{P}(B)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac23$ 이다.

[물음 2](1) 확률변수 $\displaystyle X$ 는 $\displaystyle B(3,p)$ 인 이항분포를 따르므로 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle X$	0	1	2	3	합계
$\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$	$\displaystyle (1-p)^3$	$\displaystyle 3p(1-p)^2$	$\displaystyle 3p^2(1-p)$	$\displaystyle p^3$	1

+30점 · 1. 이항분포를 이용하여 각 확률을 구하였는가? 그리고 이를 이용하여 조건을 만족하는

\displaystyle p

의 범위를 구하였는가? 2. 이항분포의 분산을 이용하여 분산이 최대가 되는

\displaystyle p

의 값을 구하고 그 때의 기댓값과 분산을 구하였는가?

따라서 $\displaystyle (b+c)-(a+d)\ge\frac18$ 은 $\displaystyle (3p(1-p))-(1-3p(1-p))\ge\frac18$ 이고 $\displaystyle p^2-p+\frac3{16}=\left(p-\frac14\right)\left(p-\frac34\right)\le0$ 이므로 $\displaystyle \frac14\le p\le\frac34$ 이다.(2) 확률변수 $\displaystyle X$ 가 $\displaystyle B(3,p)$ 인 이항분포이므로 분산은 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=3p(1-p)$ 로 $\displaystyle p=\frac12$ 에서 최대가 된다. 따라서 이때의 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=3p=3\times\frac12=\frac32$ 이고 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=3p(1-p)=3\times\frac12\times\frac12=\frac34$ 이다.

+40점 · 1. 순열의 성질을 이용하여 조건을 만족하는 집합을 구하였는가? 2. 조합의 성질을 이용하여 조건을 만족하는 자연수의 개수와 그 집합을 구하였는가?

[물음 3](1) $\displaystyle n$ 이 제곱수이면 $\displaystyle n=a^2$ 에 대해 $\displaystyle a>2$ 이면 $\displaystyle (n-1)!=1\times2\times\cdots\times a\times\cdots\times2a\times\cdots\times(n-1)$ 이므로 $\displaystyle n$ 으로 나누어떨어진다. 단, $\displaystyle n=4$ 이면 $\displaystyle (4-1)!=6$ 이므로 4로 나누어떨어지지 않는다. $\displaystyle n$ 이 소수이면 1과 $\displaystyle n$ 이외에는 약수가 없으므로 $\displaystyle (n-1)!$ 은 $\displaystyle n$ 으로 나누어떨어지지 않는다. 단, $\displaystyle n$ 이 제곱수가 아닌 합성수이면 $\displaystyle n=n_1\times n_2$ (단, $\displaystyle 1<n_1<n_2<n$ )인 약수 $\displaystyle n_1$ 과 $\displaystyle n_2$ 를 가지므로 $\displaystyle (n-1)!=1\times2\times\cdots\times n_1\times\cdots\times n_2\times\cdots\times(n-1)$ 은 $\displaystyle n$ 으로 나누어떨어진다. 따라서 [조건 1]과 [조건 2]를 만족하는 집합은 $\displaystyle A=\{2,3,4,5,7\}$ 이다.(2) 2이상의 소수 $\displaystyle n$ 의 경우에는 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k$ ( $\displaystyle 1\le k\le n-1$ )이 $\displaystyle n$ 의 배수가 되는 $\displaystyle k$ 의 개수가 $\displaystyle n-1$ 이고, $\displaystyle n=4$ 인 경우에는 $\displaystyle {}_4\mathrm{C}_k$ ( $\displaystyle 1\le k\le3$ )이 4의 배수가 되는 $\displaystyle k$ 의 개수는 2이다.따라서 $\displaystyle x_2=1,x_3=2,x_4=2,x_5=4,x_7=6$ 이므로 집합 $\displaystyle B=\{1,2,4,6\}$ 이고 모든 원소의 합은 13이다.

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자연계열 I 1번

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