수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 3번

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경북대 2018학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2018mo/jayeon1_3

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문제

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)좌표공간에서 x\displaystyle x축, y\displaystyle y축, z\displaystyle z축의 양의 방향에 있으면서 크기가 1인 위치벡터를 각각 e⃗1,e⃗2,e⃗3\displaystyle \vec e_1,\vec e_2,\vec e_3이라고 하자. 이때 e⃗1,e⃗2,e⃗3\displaystyle \vec e_1,\vec e_2,\vec e_3을 성분으로 나타내면e⃗1=(1,0,0),e⃗2=(0,1,0),e⃗3=(0,0,1)\displaystyle \vec e_1=(1,0,0),\quad\vec e_2=(0,1,0),\quad\vec e_3=(0,0,1)이고 e⃗1,e⃗2,e⃗3\displaystyle \vec e_1,\vec e_2,\vec e_3은 단위벡터이다. 따라서 a⃗=(a1,a2,a3)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,a_3)은a⃗=a1e⃗1+a2e⃗2+a3e⃗3\displaystyle \vec a=a_1\vec e_1+a_2\vec e_2+a_3\vec e_3과 같이 나타낼 수 있다.

(나)두 공간벡터 a⃗=(a1,a2,a3), b⃗=(b1,b2,b3)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,a_3),\ \vec b=(b_1,b_2,b_3)에 대하여 a⃗\displaystyle \vec a와 b⃗\displaystyle \vec b의 내적 a⃗⋅b⃗\displaystyle \vec a\cdot\vec b는a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\displaystyle \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3이다.

(다)두 점 A(x1,y1), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1),\ \mathrm{B}(x_2,y_2) 사이의 거리는AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}이다.

(라)점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 사이의 거리는∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【3-1】아래 그림과 같이 한변의 길이가 2인 정육면체 ABCD－EFGH에서

정육면체 ABCD–EFGH에서 선분 HF와 HD의 내분점 M, N

선분 HF를 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점을 M, 선분 HD를 2:1\displaystyle 2:1로 내분한 점을 N이라 하자. 벡터 a⃗,b⃗,c⃗\displaystyle \vec a,\vec b,\vec c가 각각 a⃗=EF→, b⃗=EM→, c⃗=EN→\displaystyle \vec a=\overrightarrow{EF},\ \vec b=\overrightarrow{EM},\ \vec c=\overrightarrow{EN}일 때, 다음 물음에 답하시오.(1) 벡터 EH→\displaystyle \overrightarrow{EH}를 EH→=αa⃗+βb⃗\displaystyle \overrightarrow{EH}=\alpha\vec a+\beta\vec b로 표현할 때, 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta에 대하여 α+β\displaystyle \alpha+\beta의 값을 구하시오. (20점)(2) 벡터 EA→\displaystyle \overrightarrow{EA}을 EA→=αa⃗+βb⃗+γc⃗\displaystyle \overrightarrow{EA}=\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c로 표현할 때, 실수 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma에 대하여 α+β+γ\displaystyle \alpha+\beta+\gamma의 값을 구하시오. (30점)

【3-2】(1) 포물선 y2=2x\displaystyle y^2=2x 위를 움직이는 점 P와 직선 y=4x+4\displaystyle y=4x+4 사이의 거리의 최솟값을 구하시오. (20점)(2) 포물선 y2=2x\displaystyle y^2=2x 위를 움직이는 점 P와 점 Q(−12,2)\displaystyle \mathrm{Q}\left(-\frac12,2\right) 사이의 거리 PQ‾\displaystyle \overline{PQ}의 최솟값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2018학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2018mo/jayeon1_3

[3-1]a⃗=ae⃗1, EH→=ae⃗2, EA→=ae⃗3\displaystyle \vec a=a\vec e_1,\ \overrightarrow{EH}=a\vec e_2,\ \overrightarrow{EA}=a\vec e_3e⃗i⋅e⃗j={1,i=j0,i≠j\displaystyle \vec e_i\cdot\vec e_j=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j\end{cases}

+20점 · α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 구하면 20점

(1)b⃗=a3(2e⃗1+e⃗2),c⃗=a(e⃗2+23e⃗3)\displaystyle \vec b=\frac a3(2\vec e_1+\vec e_2),\quad\vec c=a\left(\vec e_2+\frac23\vec e_3\right)따라서,ae⃗2=EH→=αb⃗+βa⃗=aα(23e⃗1+13e⃗2)+aβe⃗1\displaystyle a\vec e_2=\overrightarrow{EH}=\alpha\vec b+\beta\vec a=a\alpha\left(\frac23\vec e_1+\frac13\vec e_2\right)+a\beta\vec e_1이고,e⃗2=(23α+β)e⃗1+13αe⃗2\displaystyle \vec e_2=\left(\frac23\alpha+\beta\right)\vec e_1+\frac13\alpha\vec e_2이다. 따라서, α=3\displaystyle \alpha=3이고 23α+β=0\displaystyle \frac23\alpha+\beta=0이어야 한다.두식을 연립하여 풀면, β=−2\displaystyle \beta=-2이고, α+β=1\displaystyle \alpha+\beta=1이다.Correction. 소문항 3-1 (1)의 예시답안은 문제에서 정한 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 서로 바꾸어 썼다. 문제의 정의에 따르면 α=−2\displaystyle \alpha=-2, β=3\displaystyle \beta=3이며, 합 α+β=1\displaystyle \alpha+\beta=1은 같다. 원문 표기는 그대로 실었다.

+30점 · α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma를 구하면 25점 합을 구하면 5점.

(2) 같은 방법으로e⃗3=(α+23β)e⃗1+(13β+γ)e⃗2+23γe⃗3\displaystyle \vec e_3=\left(\alpha+\frac23\beta\right)\vec e_1+\left(\frac13\beta+\gamma\right)\vec e_2+\frac23\gamma\vec e_3임을 알 수 있다. 따라서,α+23β=0,13β+γ=0,23γ=1\displaystyle \alpha+\frac23\beta=0,\quad\frac13\beta+\gamma=0,\quad\frac23\gamma=1이어야 한다. 세 식을 연립하여 풀면,α=3,β=−92,γ=32\displaystyle \alpha=3,\quad\beta=-\frac92,\quad\gamma=\frac32이므로,α+β+γ=0\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0이다.

+20점 · 접선의 방정식을 이용하여 접점을 구하면 15점 접점과 직선 사이의 거리를 구하면 5점.

[3-2](1) 포물선과 직선의 거리의 최솟값은 기울기가 4인 포물선의 접점과 직선의 거리다.즉, y′=4\displaystyle y^{\prime}=4이므로 접점은 (132,14)\displaystyle \left(\frac1{32},\frac14\right)이 되고,제시문 (라)에 의하여 거리는 3117136\displaystyle \frac{31\sqrt{17}}{136}이 된다.

+30점 · 매개변수를 이용하여 두 점 사이의 거리를 구하면 10점 미분을 이용하여 최솟값을 구하면 20점.

(2) 구하는 두 점 사이의 거리의 제곱은 f(y)=(x+12)2+(y−2)2=(y22+12)2+(y−2)2\displaystyle f(y)=\left(x+\frac12\right)^2+(y-2)^2=\left(\frac{y^2}2+\frac12\right)^2+(y-2)^2이고 양변을 미분하면, f′(y)=y3+3y−4=(y−1)(y2+y+4)\displaystyle f^{\prime}(y)=y^3+3y-4=(y-1)(y^2+y+4)이므로y=1\displaystyle y=1에서 최솟값 PQ‾=2\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt2를 갖는다.

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