자연계열 II 1번

【1-1】 (25점)○ 모범답안: 1부터 10까지의 자연수 중에서 3개의 수를 꺼내는 모든 경우의 수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm C_3=120$가지이다. 이 중 꺼낸 3개의 수가 모두 연속하는 경우는 8가지이다. 그리고 3개의 수 중 2개의 수만이 연속되는 경우는(1) 연속된 두 수가 $\displaystyle (1,2),(9,10)$인 경우는$\displaystyle (1,2,4),(1,2,5),\cdots,(1,2,10)$의 7가지와 $\displaystyle (1,9,10),(2,9,10),\cdots,(7,9,10)$의 7가지로총 14가지이다.(2) 연속된 두 수가 $\displaystyle (1,2),(9,10)$이 아닌 경우는$\displaystyle (2,3),(3,4),\cdots,(8,9)$를 포함하는 7가지의 각 경우에 대하여 6가지이다.예를 들어, $\displaystyle (2,3)$을 포함된 경우는 $\displaystyle (2,3,5),(2,3,6),\cdots,(2,3,10)$의 6가지이다.따라서 총 42가지이다.그러므로 꺼낸 3개의 수 중 어느 두 수도 연속되지 않은 확률은$\displaystyle 1-\frac{8+14+42}{120}=1-\frac{64}{120}=1-\frac8{15}$으로 $\displaystyle \frac7{15}$이다.

【1-2】 (25점)○ 모범답안: 조건 (a)로부터 $\displaystyle \mathrm E(X)=\frac{25+33}2=29$이고조건 (b)로부터 $\displaystyle \mathrm P(X\le23)=\mathrm P\left(\frac{X-29}\sigma\le\frac{23-29}\sigma\right)=0.0668$이므로 $\displaystyle \frac{23-29}\sigma=-1.5$를 만족한다.따라서 $\displaystyle m=29$이고 $\displaystyle \sigma=4$이고 확률변수 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(29,4^2)$을 따르므로$\displaystyle \mathrm P(X\le37)=\mathrm P\left(Z\le\frac{37-29}4\right)=\mathrm P(Z\le2)=0.9772$이다.

【1-3】(1) (20점)○ 모범답안: 임의로 선택한 문항에 대하여 A학생이 정답을 알고 있는 사건을 K, 모르고 있거나 확실하지 않은 사건인 경우 UK, 정답을 택한 사건을 C라고 하자.임의로 선택한 문항에 대하여 A학생이 정답을 알고 있는 문항이었으며, 이 경우 철수가 정답을 택할 확률은 $\displaystyle \mathrm P(C\cap K)=\mathrm P(C|K)\mathrm P(K)=1\times0.5$이다. 그리고 임의로 선택한 문항에 대하여 A학생이 정답을 모르거나 정답이 확실하지않는 문항이었으며, 이 경우 A학생이 정답을 택할 확률은$\displaystyle \mathrm P(C\cap\mathrm{UK})=\mathrm P(C|\mathrm{UK})\mathrm P(\mathrm{UK})=0.2\times0.5$이다.따라서, 임의의 문항에 대하여 철수가 정답을 택할 확률 $\displaystyle p=1\times0.5+0.2\times0.5=0.6=\frac35$이다.Correction. 풀이의 두 곳에 등장하는 ‘철수’는 문제의 ‘A 학생’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, A 학생이 90점 이상을 받을 확률은$\displaystyle \mathrm P(X\ge9)={}_{10}\mathrm C_9p^9(1-p)^1+p^{10}=p^9[10(1-p)+p]=p^9(10-9p)$이다.따라서, $\displaystyle \mathrm P(X\ge9)=\left(\frac35\right)^9\alpha=p^9\alpha=p^9(10-9p)$이므로, $\displaystyle \alpha=10-9p=10-9\times0.6=4.6$이다.Comment. 대학 답안은 열 문항의 정답 여부가 서로 독립이고, 각 문항의 정답 확률이 $\displaystyle \frac35$인 모형으로 계산한다. 이 모형에서는 정답 수 $\displaystyle X$가 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(10,\frac35)$를 따르므로, 답안의 확률식으로부터 $\displaystyle \alpha=10-9\cdot\frac35=4.6$을 얻는다.

(2) (30점)○ 모범답안:A학생이 선택한 답이 정답일 확률은 문제 (1)에서 $\displaystyle p=\mathrm P(C)=\frac35=0.6$이다. 그러므로, 제시문 (나)조건부확률의 정의에 의하여 A학생이 정답을 맞힌 문제가 A학생이 정답을 알고 답하였을 확률은$\displaystyle \mathrm P(K|C)=\frac{\mathrm P(K\cap C)}{\mathrm P(C)}\quad\frac{1\times0.5}{0.6}=\frac56$Correction. 조건부확률을 계산한 두 분수 사이에 등호가 빠져 있다. 최종 값 $\displaystyle 5/6$은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.