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자연계열 II 2번

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경북대 2019학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon2_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 영벡터가 아닌 두 평면벡터 a⃗=(a1,a2),b⃗=(b1,b2)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2),\vec b=(b_1,b_2)가 이루는 각의 크기를 θ (0≤θ≤π)\displaystyle \theta\ (0\le\theta\le\pi)라고 할 때, a⃗\displaystyle \vec a와 b⃗\displaystyle \vec b의 내적 a⃗⋅b⃗\displaystyle \vec a\cdot\vec b는a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta이다.

(나) 각 θ1,θ2\displaystyle \theta_1,\theta_2에 대해, 다음 등식이 성립한다.tan⁡(θ1+θ2)=tan⁡θ1+tan⁡θ21−tan⁡θ1tan⁡θ2,\displaystyle \tan(\theta_1+\theta_2)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2},tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2\displaystyle \tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}

(다) 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 위의 한 점 P(x0,y0)\displaystyle \mathrm P(x_0,y_0)에서의 접선의 방정식은x0xa2+y0yb2=1\displaystyle \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1이다.

(라) 기울기가 a\displaystyle a인 직선 y=ax+b (a≠0)\displaystyle y=ax+b\ (a\ne0)이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta이면 a=tan⁡θ\displaystyle a=\tan\theta이다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

좌표평면에서 타원E:x2+y23=1\displaystyle E:x^2+\frac{y^2}3=1과 직선m:7x+y=15\displaystyle m:7x+y=15가 있다. 타원 E\displaystyle E 위를 움직이는 제2사분면의 점 P에서의 접선 l\displaystyle l에 대하여 타원 위의 한 점 B, 직선 m\displaystyle m 위의 두 점 A, C가 다음 조건을 만족시킨다.

<조건>

(a) 직선 m\displaystyle m의 방향벡터를 w⃗\displaystyle \vec w라 할 때,PA→⋅w⃗=0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\vec w=0이다.

(b) 접선 l\displaystyle l의 방향벡터를 u⃗\displaystyle \vec u라 할 때,∣PB→∣(u⃗⋅PA→)+∣PA→∣(u⃗⋅PB→)=0\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PB}}|(\vec u\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}})+|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|(\vec u\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}})=0이다.

(c) 각 ∠PBC\displaystyle \angle\mathrm{PBC}의 크기는 34π\displaystyle \frac34\pi이다.

점 P에서의 접선 l\displaystyle l의 기울기를 t\displaystyle t라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 2<t<5\displaystyle 2<t<5)

【2-1】 직선 PB가 원점 O(0,0)를 지날 때, 접선 l\displaystyle l의 기울기 t=t0\displaystyle t=t_0라 하자.

타원과 접선, 직선 m 위의 점 A와 C

(1) 직선 PB의 기울기를 u\displaystyle u라 할 때, t0u\displaystyle t_0u의 값을 구하시오. (20점)

(2) 접선 l\displaystyle l의 y\displaystyle y절편이 b\displaystyle b일 때, t0+2b2\displaystyle t_0+2b^2의 값을 구하시오. (20점)

(3) 점 C의 x\displaystyle x좌표를 구하시오. (30점)

【2-2】 접선 l\displaystyle l과 직선 BC가 이루는 각을 θ(t)(0<θ(t)<π2)\displaystyle \theta(t)\left(0<\theta(t)<\frac\pi2\right)라 할 때, 미분계수 θ′(4)\displaystyle \theta^{\prime}(4)를 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon2_2

+5점 · 접선 l\displaystyle l의 방정식을 구한다.

【2-1】(1) (20점) 점 P의 좌표를 P(x0,y0)\displaystyle \mathrm P(x_0,y_0)라 하면, 접선 l\displaystyle l의 방정식은 y=−3x0y0x+3y0\displaystyle y=-\frac{3x_0}{y_0}x+\frac3{y_0}이므로,

+5점 · 직선 OP의 기울기를 구한다.
+10점 · t0u\displaystyle t_0u의 값을 구한다.

t0=−3x0y0, u=y0x0. 즉, t0u=−3\displaystyle t_0=-\frac{3x_0}{y_0},\ u=\frac{y_0}{x_0}.\ \text{즉,}\ t_0u=-3.

+10점 · t0\displaystyle t_0의 값을 구한다.

(2) (20점) 조건으로부터 접선 l\displaystyle l과 직선 PB가 이루는 각은 l\displaystyle l과 직선 PA가 이루는 각 η\displaystyle \eta로 같다. 그러므로 직선 l\displaystyle l과 m\displaystyle m이 이루는 각은 π2−η\displaystyle \frac\pi2-\eta이다. 따라서,tan⁡(π2−η)=−7−t01−7t0———(*)\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\eta\right)=\frac{-7-t_0}{1-7t_0}\qquad\text{---------(*)}그런데, 직선 l\displaystyle l과 직선 PB가 이루는 각이 η\displaystyle \eta이므로tan⁡η=u0−t01+u0t0=−3t0−t01−3\displaystyle \tan\eta=\frac{u_0-t_0}{1+u_0t_0}=\frac{-\frac3{t_0}-t_0}{1-3}이다.1=tan⁡(π2−η)⋅tan⁡η=(−7−t01−7t0)⋅(3+t022t0), 2<t0<5 ⇒ t0=3.\displaystyle 1=\tan\left(\frac\pi2-\eta\right)\cdot\tan\eta=\left(\frac{-7-t_0}{1-7t_0}\right)\cdot\left(\frac{3+t_0^2}{2t_0}\right),\ 2<t_0<5\ \Rightarrow\ t_0=3.

+5점 · 점 P(x0,y0)\displaystyle \mathrm P(x_0,y_0)의 좌표를 구한다.

(1)로부터 −1=u0=y0x0,x02+y023=1⇒(x0,y0)=(−32,32)\displaystyle -1=u_0=\frac{y_0}{x_0},\quad x_0^2+\frac{y_0^2}3=1\Rightarrow(x_0,y_0)=\left(-\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt3}2\right).

+5점 · 접선 l\displaystyle l의 방정식을 구한다.

그러므로 접선 l\displaystyle l의 방정식은 y=3x+23\displaystyle y=3x+2\sqrt3.t0+2b2=3+2(23)2=27\displaystyle t_0+2b^2=3+2(2\sqrt3)^2=27.

+10점 · 직선 BC와 x\displaystyle x축의 관계를 안다.

(3) (30점) 직선 OP와 x\displaystyle x축의 양의 방향이 이루는 각이 34π\displaystyle \frac34\pi이므로 x\displaystyle x축과 직선 BC는 평행하다. 그래서, 점 B와 C의 y\displaystyle y좌표는 같다.

+15점 · 점 B의 좌표를 구한다.

한편, 타원은 이차식이고 직선 PB는 원점을 지나므로 B의 좌표는 (32,−32)\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2\right)이다.

+5점 · 점 C의 x\displaystyle x좌표를 구한다.

직선 m\displaystyle m의 방정식에 대입하면, C의 x\displaystyle x좌표는 157+314\displaystyle \frac{15}7+\frac{\sqrt3}{14}.

+10점 · tan⁡θ(t)\displaystyle \tan\theta(t)를 구한다.

【2-2】 (30점)∠PBC=34π\displaystyle \angle\mathrm{PBC}=\frac34\pi과 (*) 로부터tan⁡θ(t)=tan⁡(34π−η(t))=−1−tan⁡η(t)1−tan⁡η(t)=4t+33t−4,\displaystyle \tan\theta(t)=\tan\left(\frac34\pi-\eta(t)\right)=\frac{-1-\tan\eta(t)}{1-\tan\eta(t)}=\frac{4t+3}{3t-4},

+15점 · 도함수 θ′(t)\displaystyle \theta^{\prime}(t)를 구한다.
+5점 · θ′(4)\displaystyle \theta^{\prime}(4)의 값을 구한다.

sec⁡2θ(t)⋅θ′(t)=−25(3t−4)2⇒θ′(4)=cos⁡2θ(4)⋅(−2564)=−117\displaystyle \sec^2\theta(t)\cdot\theta'(t)=\frac{-25}{(3t-4)^2}\Rightarrow\theta'(4)=\cos^2\theta(4)\cdot\left(-\frac{25}{64}\right)=-\frac1{17}

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