자연계열 II 2번

【2-1】(1) (20점) 점 P의 좌표를 $\displaystyle \mathrm P(x_0,y_0)$라 하면, 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{3x_0}{y_0}x+\frac3{y_0}$이므로,$\displaystyle t_0=-\frac{3x_0}{y_0},\ u=\frac{y_0}{x_0}.\ \text{즉,}\ t_0u=-3$.

(2) (20점) 조건으로부터 접선 $\displaystyle l$과 직선 PB가 이루는 각은 $\displaystyle l$과 직선 PA가 이루는 각 $\displaystyle \eta$로 같다. 그러므로 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$이 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi2-\eta$이다. 따라서,$\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\eta\right)=\frac{-7-t_0}{1-7t_0}\qquad\text{---------(*)}$그런데, 직선 $\displaystyle l$과 직선 PB가 이루는 각이 $\displaystyle \eta$이므로$\displaystyle \tan\eta=\frac{u_0-t_0}{1+u_0t_0}=\frac{-\frac3{t_0}-t_0}{1-3}$이다.$\displaystyle 1=\tan\left(\frac\pi2-\eta\right)\cdot\tan\eta=\left(\frac{-7-t_0}{1-7t_0}\right)\cdot\left(\frac{3+t_0^2}{2t_0}\right),\ 2<t_0<5\ \Rightarrow\ t_0=3.$(1)로부터 $\displaystyle -1=u_0=\frac{y_0}{x_0},\quad x_0^2+\frac{y_0^2}3=1\Rightarrow(x_0,y_0)=\left(-\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt3}2\right)$. 그러므로 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=3x+2\sqrt3$.$\displaystyle t_0+2b^2=3+2(2\sqrt3)^2=27$.

(3) (30점) 직선 OP와 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각이 $\displaystyle \frac34\pi$이므로 $\displaystyle x$축과 직선 BC는 평행하다. 그래서, 점 B와 C의 $\displaystyle y$좌표는 같다. 한편, 타원은 이차식이고 직선 PB는 원점을 지나므로 B의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2\right)$이다. 직선 $\displaystyle m$의 방정식에 대입하면, C의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{15}7+\frac{\sqrt3}{14}$.

【2-2】 (30점)$\displaystyle \angle\mathrm{PBC}=\frac34\pi$과 (*) 로부터$\displaystyle \tan\theta(t)=\tan\left(\frac34\pi-\eta(t)\right)=\frac{1-\tan\eta(t)}{1-\tan\eta(t)}=\frac{4t+3}{3t-4},$$\displaystyle \sec^2\theta(t)\cdot\theta'(t)=\frac{-25}{(3t-4)^2}\Rightarrow\theta'(4)=\cos^2\theta(4)\cdot\left(-\frac{25}{64}\right)=-\frac1{17}$