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자연계열 I 4번

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경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 4번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_4

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[4] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 모든 실수 x\displaystyle x에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 상수 a\displaystyle a에 대하여ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)가 성립한다.

(나) 미분가능한 두 함수 y=f(u), u=g(x)\displaystyle y=f(u),\ u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는dydx=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)이다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

닫힌구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 정의된 함수 h(x)=−2x3+3x2\displaystyle h(x)=-2x^3+3x^2에 대하여, 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 역함수를 h−1(u)\displaystyle h^{-1}(u)라 하자. 열린구간 (0,1)\displaystyle (0,1)에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)를f(x)=∫01∣x−h−1(u)∣ du\displaystyle f(x)=\int_0^1|x-h^{-1}(u)|\,du와 같이 정의할 때, 다음 물음에 답하시오.

【4-1】 f(12)\displaystyle f\left(\frac12\right)을 구하시오. (20점)

【4-2】 역함수 h−1(u)\displaystyle h^{-1}(u)의 한 부정적분을 F(u)=∫h−1(u) du\displaystyle F(u)=\int h^{-1}(u)\,du라 할 때, 등식f(x)+2F(h(x))=axh(x)+bx+c\displaystyle f(x)+2F(h(x))=axh(x)+bx+c가 성립하는 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c에 대하여 2a+b\displaystyle 2a+b의 값을 구하시오. (40점)

【4-3】 f′(x0)=−1327\displaystyle f^{\prime}(x_0)=-\frac{13}{27}일 때, 실수 x0\displaystyle x_0의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 4번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_4

+5점 · 적분구간을 나눈다.
+10점 · 역함수 h−1\displaystyle h^{-1}의 적분값을 구한다. (각 5점)

【4-1】 (20점) h(12)=12\displaystyle h\left(\frac12\right)=\frac12에서,f(12)=∫01/2(12−h−1(u))du+∫1/21(h−1(u)−12)du=−∫01/2h−1(u) du+∫1/21h−1(u) du=(∫01/2h(u) du−14)+(34−∫1/21h(u) du)\displaystyle \begin{aligned}f\left(\frac12\right)&=\int_0^{1/2}\left(\frac12-h^{-1}(u)\right)du+\int_{1/2}^1\left(h^{-1}(u)-\frac12\right)du\\&=-\int_0^{1/2}h^{-1}(u)\,du+\int_{1/2}^1h^{-1}(u)\,du=\left(\int_0^{1/2}h(u)\,du-\frac14\right)+\left(\frac34-\int_{1/2}^1h(u)\,du\right)\end{aligned}이다.

+5점 · f(12)\displaystyle f\left(\frac12\right)를 구한다.

한편, ∫01/2h(u) du=[−u42+u3]01/2=332\displaystyle \int_0^{1/2}h(u)\,du=\Biggl[-\frac{u^4}2+u^3\Biggr]_0^{1/2}=\frac3{32}, ∫1/21h(u) du=[−u42+u3]1/21=1332\displaystyle \int_{1/2}^1h(u)\,du=\Biggl[-\frac{u^4}2+u^3\Biggr]_{1/2}^1=\frac{13}{32}이므로 f(12)=316\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac3{16}이다.

+10점 · 적분구간을 나눈다.

【4-2】 (40점) 제시문 (가)를 이용하면,f(x)=∫0h(x)(x−h−1(u)) du+∫h(x)1(h−1(u)−x) du=xh(x)−F(h(x))+F(0)+F(1)−F(h(x))−x(1−h(x))=2xh(x)−x−2F(h(x))+F(0)+F(1)\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_0^{h(x)}(x-h^{-1}(u))\,du+\int_{h(x)}^1(h^{-1}(u)-x)\,du\\&=xh(x)-F(h(x))+F(0)+F(1)-F(h(x))-x(1-h(x))\\&=2xh(x)-x-2F(h(x))+F(0)+F(1)\end{aligned}

+15점 · a\displaystyle a의 값을 구한다.
+15점 · b\displaystyle b의 값을 구한다.

이므로, a=2, b=−1,c=F(0)+F(1)\displaystyle a=2,\ b=-1,c=F(0)+F(1)이다. 따라서, 2a+b=3\displaystyle 2a+b=3.

+15점 · f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)를 구한다.

【4-3】 (30점) 【4-2】의 등식을 x\displaystyle x에 대해 미분하면 제시문 (나)에 의해,f′(x)=2(h(x)+xh′(x))−1−2F′(h(x))h′(x)=2h(x)−1\displaystyle f'(x)=2(h(x)+xh'(x))-1-2F'(h(x))h'(x)=2h(x)-1

+15점 · x0\displaystyle x_0의 값을 구한다.

이므로, f′(x0)=2h(x0)−1=−1327\displaystyle f'(x_0)=2h(x_0)-1=-\frac{13}{27}로부터 h(x0)=727\displaystyle h(x_0)=\frac7{27}이다. 즉, −2x03+3x02−727=−2(x0−13)(x02−76x0−718)=0\displaystyle -2x_0^3+3x_0^2-\frac7{27}=-2\left(x_0-\frac13\right)\left(x_0^2-\frac76x_0-\frac7{18}\right)=0이다.그런데, 0<x0<1\displaystyle 0<x_0<1이므로, x0=13\displaystyle x_0=\frac13이다.

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