자연계열 I 4번

【4-1】 (20점) $\displaystyle h\left(\frac12\right)=\frac12$에서,$\displaystyle \begin{aligned}f\left(\frac12\right)&=\int_0^{1/2}\left(\frac12-h^{-1}(u)\right)du+\int_{1/2}^1\left(h^{-1}(u)-\frac12\right)du\\&=-\int_0^{1/2}h^{-1}(u)\,du+\int_{1/2}^1h^{-1}(u)\,du=\left(\int_0^{1/2}h(u)\,du-\frac14\right)+\left(\frac34-\int_{1/2}^1h(u)\,du\right)\end{aligned}$이다. 한편, $\displaystyle \int_0^{1/2}h(u)\,du=\Biggl[-\frac{u^4}2+u^3\Biggr]_0^{1/2}=\frac3{32}$, $\displaystyle \int_{1/2}^1h(u)\,du=\Biggl[-\frac{u^4}2+u^3\Biggr]_{1/2}^1=\frac{13}{32}$이므로 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac3{16}$이다.

【4-2】 (40점) 제시문 (가)를 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_0^{h(x)}(x-h^{-1}(u))\,du+\int_{h(x)}^1(h^{-1}(u)-x)\,du\\&=xh(x)-F(h(x))+F(0)+F(1)-F(h(x))-x(1-h(x))\\&=2xh(x)-x-2F(h(x))+F(0)+F(1)\end{aligned}$이므로, $\displaystyle a=2,\ b=-1,c=F(0)+F(1)$이다. 따라서, $\displaystyle 2a+b=3$.

【4-3】 (30점) 【4-2】의 등식을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 제시문 (나)에 의해,$\displaystyle f'(x)=2(h(x)+xh'(x))-1-2F'(h(x))h'(x)=2h(x)-1$이므로, $\displaystyle f'(x_0)=2h(x_0)-1=-\frac{13}{27}$로부터 $\displaystyle h(x_0)=\frac7{27}$이다. 즉, $\displaystyle -2x_0^3+3x_0^2-\frac7{27}=-2\left(x_0-\frac13\right)\left(x_0^2-\frac76x_0-\frac7{18}\right)=0$이다.그런데, $\displaystyle 0<x_0<1$이므로, $\displaystyle x_0=\frac13$이다.