자연계열 II 3번

【3-1】 (30점)○ 모범답안:(1) 이차식 $\displaystyle q_1(x)$에 대하여, 등식 $\displaystyle q_1(x)=0$은 두 개의 서로 다른 근 $\displaystyle b$와 $\displaystyle c$를 가지므로, $\displaystyle q_1(x)=C(x-b)(x-c)$임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle q_1(a)=f(a)$임을 이용하면, $\displaystyle C=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}$임을 알 수 있다. 따라서 ①= −1, ②=1, ③= −1이다. (각 5점씩 15점)

(2) 이차식 $\displaystyle q_2(x)$에 대하여, 등식 $\displaystyle q_2(x)=0$은 두 개의 서로 다른 근 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$를 가지므로, $\displaystyle q_2(x)=C^{\prime}(x-c)(x-a)$임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle q_2(b)=f(b)$임을 이용하면, $\displaystyle C^{\prime}=\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}=\frac{f(b)}{(a-b)(-b+c)}$임을 알 수 있다. 따라서 ④= −1, ⑤= −1, ⑥=1이다. (각 5점씩 15점)

【3-1】 (40점)Correction. 3번 답안의 두 번째와 세 번째 소제목 “3-1”은 각각 “3-2”, “3-3”의 오기이다. 문제의 소문항 순서와 배점은 각각 30점, 40점, 50점이며, 답안 내용도 이 순서에 대응한다. 원문 표기는 그대로 실었다.○ 모범답안:롤의 정리에 의하여, $\displaystyle h^{\prime}(c_1)=0$인 $\displaystyle c_1$이 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$사이에 적어도 하나 존재하고, 역시 롤의 정리에 의하여 $\displaystyle h^{\prime}(c_2)=0$인 $\displaystyle c_2$가 열린구간 $\displaystyle (b,c)$사이에 적어도 하나 존재한다.

이 때, $\displaystyle a<c_1<b<c_2<c$임을 알 수 있다.

다시 롤의 정리에 의하여 $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$인 $\displaystyle d$가 열린 구간 $\displaystyle (c_1,c_2)\subset(a,c)$사이에 적어도 하나 존재한다.

【3-1】 (50점)○ 모범답안:문제 【3-1】 (1),(2)의 답에서와 마찬가지 방법을 통하여, 이차이하 다항함수 $\displaystyle y=q_3(x)$의 그래프가 세 점 $\displaystyle (a,0),\ (b,0),\ (c,f(c))$을 지난다고 하면,$\displaystyle q_3(x)=\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}(x-a)(x-b)$이다.$\displaystyle p(x)=q_1(x)+q_2(x)+q_3(x)$로 두면, $\displaystyle p(x)$는 이차이하의 다항식이고, 함수 $\displaystyle y=p(x)$의 그래프는 $\displaystyle (a,f(a)),\ (b,f(b)),\ (c,f(c))$를 지난다.$\displaystyle h(x)=f(x)-p(x)$로 두면, $\displaystyle h(a)=h(b)=h(c)=0$임을 알 수 있다. 【3-2】의 결과로부터, $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$인 $\displaystyle d$가 열린 구간 $\displaystyle (a,c)$적어도 하나 존재함을 알 수 있다.

이때, $\displaystyle p(x)$의 이차항의 계수 $\displaystyle A=\frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}$이다. (15점)한편, $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)-p^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)-2A$인데, $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$으로부터,$\displaystyle \frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}=\frac{f^{\prime\prime}(d)}2$이다. (15점)