자연계열 II 3번

경북대 2020학년도 모의 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2020mo/jayeon2_3

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 가 미분가능할 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle \frac d{dx}f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f^{\prime}(x+\Delta x)-f^{\prime}(x)}{\Delta x}$ 이를 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 이계도함수라 하고, 이것을 기호 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$ 와 같이 나타낸다.

(나) 최고차항의 계수가 1인 이차다항식 $\displaystyle p(x)$ 의 근이 $\displaystyle \alpha,\ \beta$ 일 때, $\displaystyle p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ 이다.

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(a)=f(b)$ 이면 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 인 $\displaystyle c$ 가 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 $\displaystyle f(x),\ h(x)$ 와 세 실수 $\displaystyle a,b,c\ (a<b<c)$ 에 대하여, 다음 물음에 답하시오.

【3-1】 (1) 세 점 $\displaystyle (a,f(a)),\ (b,0),\ (c,0)$ 은 이차함수 $\displaystyle y=q_1(x)$ 의 그래프 위의 점일 때 $\displaystyle q_1(x)=\frac{f(a)(x-b)(x-c)}{(a+\boxed{\text{①}}\,b)(\boxed{\text{②}}\,a+\boxed{\text{③}}\,c)}$ 이다. ①, ②, ③에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

(2) 세 점 $\displaystyle (a,0),\ (b,f(b)),\ (c,0)$ 은 이차함수 $\displaystyle y=q_2(x)$ 의 그래프 위의 점일 때 $\displaystyle q_2(x)=\frac{f(b)(x-c)(x-a)}{(a+\boxed{\text{④}}\,b)(\boxed{\text{⑤}}\,b+\boxed{\text{⑥}}\,c)}$ 이다. ④, ⑤, ⑥에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

【3-2】 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle h(a)=h(b)=h(c)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$ 인 실수 $\displaystyle d$ 가 열린 구간 $\displaystyle (a,c)$ 에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (40점)

【3-3】 등식 $\displaystyle \frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}=\frac{f^{\prime\prime}(d)}2$ 를 만족시키는 실수 $\displaystyle d$ 가 열린 구간 $\displaystyle (a,c)$ 에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2020학년도 모의 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2020mo/jayeon2_3

+15점 · ①= −1, ②=1, ③= −1을 구한다.

【3-1】 (30점)○ 모범답안:(1) 이차식 $\displaystyle q_1(x)$ 에 대하여, 등식 $\displaystyle q_1(x)=0$ 은 두 개의 서로 다른 근 $\displaystyle b$ 와 $\displaystyle c$ 를 가지므로, $\displaystyle q_1(x)=C(x-b)(x-c)$ 임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle q_1(a)=f(a)$ 임을 이용하면, $\displaystyle C=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}$ 임을 알 수 있다. 따라서 ①= −1, ②=1, ③= −1이다. (각 5점씩 15점)

+15점 · ④= −1, ⑤= −1, ⑥=1을 구한다.

(2) 이차식 $\displaystyle q_2(x)$ 에 대하여, 등식 $\displaystyle q_2(x)=0$ 은 두 개의 서로 다른 근 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle c$ 를 가지므로, $\displaystyle q_2(x)=C^{\prime}(x-c)(x-a)$ 임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle q_2(b)=f(b)$ 임을 이용하면, $\displaystyle C^{\prime}=\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}=\frac{f(b)}{(a-b)(-b+c)}$ 임을 알 수 있다. 따라서 ④= −1, ⑤= −1, ⑥=1이다. (각 5점씩 15점)

+10점 · 롤의 정리에 의하여,

\displaystyle h^{\prime}(c_1)=0

인

\displaystyle c_1

이 열린 구간

\displaystyle (a,b)

사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 보인다.

【3-1】 (40점)Correction. 3번 답안의 두 번째와 세 번째 소제목 “3-1”은 각각 “3-2”, “3-3”의 오기이다. 문제의 소문항 순서와 배점은 각각 30점, 40점, 50점이며, 답안 내용도 이 순서에 대응한다. 원문 표기는 그대로 실었다.○ 모범답안:롤의 정리에 의하여, $\displaystyle h^{\prime}(c_1)=0$ 인 $\displaystyle c_1$ 이 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 사이에 적어도 하나 존재하고,

+10점 · 롤의 정리에 의하여

\displaystyle h^{\prime}(c_2)=0

인

\displaystyle c_2

가 열린구간

\displaystyle (b,c)

사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 보인다.

역시 롤의 정리에 의하여 $\displaystyle h^{\prime}(c_2)=0$ 인 $\displaystyle c_2$ 가 열린구간 $\displaystyle (b,c)$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

+10점 · 이 때,

\displaystyle a<c_1<b<c_2<c

이고 따라서

\displaystyle c_1<c_2

임을 보인다.

이 때, $\displaystyle a<c_1<b<c_2<c$ 임을 알 수 있다.

+10점 · 다시 롤의 정리에 의하여

\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0

인

\displaystyle d

가 열린 구간

\displaystyle (c_1,c_2)\subset(a,c)

사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 보인다.

다시 롤의 정리에 의하여 $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$ 인 $\displaystyle d$ 가 열린 구간 $\displaystyle (c_1,c_2)\subset(a,c)$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

+20점 · 함수

\displaystyle y=p(x)

의 그래프가

\displaystyle (a,f(a)),\ (b,f(b)),\ (c,f(c))

를 지나도록

\displaystyle p(x)

를 구하고,

\displaystyle h(x)=f(x)-p(x)

로 두어서

\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0

인

\displaystyle d

가 열린 구간

\displaystyle (a,c)

적어도 하나 존재함을 보인다.

【3-1】 (50점)○ 모범답안:문제 【3-1】 (1),(2)의 답에서와 마찬가지 방법을 통하여, 이차이하 다항함수 $\displaystyle y=q_3(x)$ 의 그래프가 세 점 $\displaystyle (a,0),\ (b,0),\ (c,f(c))$ 을 지난다고 하면, $\displaystyle q_3(x)=\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}(x-a)(x-b)$ 이다. $\displaystyle p(x)=q_1(x)+q_2(x)+q_3(x)$ 로 두면, $\displaystyle p(x)$ 는 이차이하의 다항식이고, 함수 $\displaystyle y=p(x)$ 의 그래프는 $\displaystyle (a,f(a)),\ (b,f(b)),\ (c,f(c))$ 를 지난다. $\displaystyle h(x)=f(x)-p(x)$ 로 두면, $\displaystyle h(a)=h(b)=h(c)=0$ 임을 알 수 있다. 【3-2】의 결과로부터, $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$ 인 $\displaystyle d$ 가 열린 구간 $\displaystyle (a,c)$ 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.

+15점 ·

\displaystyle p(x)

의 이차항의 계수

\displaystyle A=\frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}

를 구한다.

이때, $\displaystyle p(x)$ 의 이차항의 계수 $\displaystyle A=\frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}$ 이다. (15점)

+15점 ·

\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0

으로부터,

\displaystyle \frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}=\frac{f^{\prime\prime}(d)}2

임을 보인다.

한편, $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)-p^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)-2A$ 인데, $\displaystyle h^{\prime\prime}(d)=0$ 으로부터, $\displaystyle \frac{\left(\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)}{c-a}=\frac{f^{\prime\prime}(d)}2$ 이다. (15점)

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