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자연계열 II 2번

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경북대 2022학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon2_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 존재하고 미분가능할 때, y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 도함수는(f−1)′(x)=1f′(y)(단, f′(y)≠0)\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(x)=\dfrac1{f^{\prime}(y)}\quad(\text{단, }f^{\prime}(y)\ne0)

(나) 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t=g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고, 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, g(α)=a,g(β)=b\displaystyle g(\alpha)=a,g(\beta)=b이면∫abf(t) dt=∫αβf(g(x))g′(x) dx\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx

Correction. 제시문 (나)에서 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)의 연속 구간으로 적은 [a,b]\displaystyle [a,b]는 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]의 오기이다. 치환식 t=g(x)\displaystyle t=g(x)에서 적분변수 x\displaystyle x가 변하는 구간은 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

Caution. 치환적분에서는 치환함수의 전체 치역에서 연속 조건이 성립하는지 확인해야 한다: 제시문 (나)의 함수 f\displaystyle f는 g([α,β])\displaystyle g([\alpha,\beta]) 전체에서 연속이어야 한다. g(x)\displaystyle g(x)가 두 끝값 a\displaystyle a, b\displaystyle b 사이를 벗어날 수도 있으므로, [a,b]\displaystyle [a,b]에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 실제 소문항의 함수 f\displaystyle f와 그 역함수 g\displaystyle g는 실수 전체에서 이계도함수를 갖는 증가함수이므로 필요한 연속성과 치환 범위가 확보되며, 이 조건 누락은 답에 영향을 주지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때,∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx

(라) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le g(x)일 때,∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx

(마) 두 함수 y=f(u),u=g(x)\displaystyle y=f(u),u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

(바) 세 함수 f(x),g(x),h(x)\displaystyle f(x),g(x),h(x)에 대하여 f(x)≤h(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le h(x)\le g(x)이고lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x)=α(α는 실수)\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=\alpha\quad(\alpha\text{는 실수})이면lim⁡x→∞h(x)=α\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\alpha

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

실수 전체 집합에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 이계도함수를 갖는 증가함수이고, f(0)=0\displaystyle f(0)=0이다. f(x)\displaystyle f(x)의 역함수를 g(x)\displaystyle g(x)라고 할 때, g(x)\displaystyle g(x)는 실수 전체 집합에서 정의되고 이계도함수를 갖는다. 실수 전체 집합에서 정의된 함수h(x)=∫0x{1+(g′(t))4}14 dt−∫0x{1+(f′(t))4}14 dt\displaystyle h(x)=\int_0^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt-\int_0^x\{1+(f^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt에 대하여 다음 물음에 답하시오.

【2-1】 h(α)=0\displaystyle h(\alpha)=0을 만족하는 양의 실수 α\displaystyle \alpha에 대하여 f(α)=α\displaystyle f(\alpha)=\alpha임을 증명하시오. (50점)

【2-2】 h(β)=0,h′(β)=0,h′′(β)=−294\displaystyle h(\beta)=0,h^{\prime}(\beta)=0,h^{\prime\prime}(\beta)=-2^{\frac94}을 만족하는 양의 실수 β\displaystyle \beta에 대하여 f′′(β)\displaystyle f^{\prime\prime}(\beta)의 값을 구하시오. (30점)

【2-3】 lim⁡x→∞f(x)x=1\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=1일 때, lim⁡x→∞h(x)x=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{h(x)}x=0임을 보이시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon2_2

+30점 · h(x)=∫f(x)x{1+(g′(t))4}14 dt\displaystyle h(x)=\displaystyle\int_{f(x)}^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt를 유도하면

【2-1】두번째 항인 ∫0x{1+(f′(t))4}14 dt\displaystyle\int_0^x\{1+(f^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt에 대해 치환적분 t=g(s)\displaystyle t=g(s)를 적용하자. f(x)\displaystyle f(x)가 증가함수이므로 역함수 g(x)\displaystyle g(x)도 증가함수이고, 따라서 g′(x)>0\displaystyle g^{\prime}(x)>0이다. 또한, f(0)=0\displaystyle f(0)=0이므로,∫0x{1+(f′(t))4}14 dt=∫0f(x){1+(1g′(s))4}14g′(s) ds=∫0f(x){1+(g′(s))4}14 ds\displaystyle\int_0^x\{1+(f^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt=\int_0^{f(x)}\left\{1+\left(\frac1{g^{\prime}(s)}\right)^4\right\}^{\frac14}g^{\prime}(s)\,ds=\int_0^{f(x)}\{1+(g^{\prime}(s))^4\}^{\frac14}\,ds를 얻는다. 따라서,h(x)=∫0x{1+(g′(t))4}14 dt−∫0f(x){1+(g′(t))4}14 dt=∫f(x)x{1+(g′(t))4}14 dt\displaystyle h(x)=\int_0^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt-\int_0^{f(x)}\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt=\int_{f(x)}^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt임을 알 수 있다.

+20점 · f(α)=α\displaystyle f(\alpha)=\alpha임을 보이면

h(α)=0\displaystyle h(\alpha)=0을 만족하는 양의 실수 α\displaystyle \alpha에 대하여, 만약 f(α)<α\displaystyle f(\alpha)<\alpha이면,h(α)=∫f(α)α{1+(g′(t))4}14 dt≥∫f(α)α1 dt=α−f(α)>0\displaystyle h(\alpha)=\int_{f(\alpha)}^\alpha\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt\ge\int_{f(\alpha)}^\alpha1\,dt=\alpha-f(\alpha)>0이므로 모순이다. 만약 f(α)>α\displaystyle f(\alpha)>\alpha이면,h(α)=−∫αf(α){1+(g′(t))4}14 dt≤−∫αf(α)1 dt=−(f(α)−α)<0\displaystyle h(\alpha)=-\int_\alpha^{f(\alpha)}\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt\le-\int_\alpha^{f(\alpha)}1\,dt=-(f(\alpha)-\alpha)<0이므로 모순이다. 따라서 f(α)=α\displaystyle f(\alpha)=\alpha임을 알 수 있다.

【2-2】h(x)=∫0x{1+(g′(t))4}14 dt−∫0x{1+(f′(t))4}14 dt\displaystyle h(x)=\int_0^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt-\int_0^x\{1+(f^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt이므로,h′(x)={1+(g′(x))4}14−{1+(f′(x))4}14\displaystyle h^{\prime}(x)=\{1+(g^{\prime}(x))^4\}^{\frac14}-\{1+(f^{\prime}(x))^4\}^{\frac14}이고,h′′(x)={1+(g′(x))4}−34(g′(x))3g′′(x)−{1+(f′(x))4}−34(f′(x))3f′′(x)\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=\{1+(g^{\prime}(x))^4\}^{-\frac34}(g^{\prime}(x))^3g^{\prime\prime}(x)-\{1+(f^{\prime}(x))^4\}^{-\frac34}(f^{\prime}(x))^3f^{\prime\prime}(x)이다. 우선, h(β)=0\displaystyle h(\beta)=0으로부터 f(β)=β=g(β)\displaystyle f(\beta)=\beta=g(\beta)임을 알 수 있다.

+10점 · f′(β)=g′(β)=1\displaystyle f^{\prime}(\beta)=g^{\prime}(\beta)=1을 구하면

h′(β)={1+(g′(β))4}14−{1+(f′(β))4}14=0\displaystyle h^{\prime}(\beta)=\{1+(g^{\prime}(\beta))^4\}^{\frac14}-\{1+(f^{\prime}(\beta))^4\}^{\frac14}=0으로부터 f′(β)=g′(β)\displaystyle f^{\prime}(\beta)=g^{\prime}(\beta)를 알 수 있고, 역함수의 도함수 성질로부터 g′(β)=1f′(β)\displaystyle g^{\prime}(\beta)=\dfrac1{f^{\prime}(\beta)}임을 알 수 있다. 따라서 f′(β)=g′(β)=1\displaystyle f^{\prime}(\beta)=g^{\prime}(\beta)=1을 얻는다.

+20점 · f′′(β)=4\displaystyle f^{\prime\prime}(\beta)=4를 구하면

또한, g(x)\displaystyle g(x)는 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수이므로 모든 실수 x\displaystyle x에 대해 f(g(x))=x\displaystyle f(g(x))=x가 성립하고, 양변의 이계도함수를 계산하면 f′′(g(x))(g′(x))2+f′(g(x))g′′(x)=0\displaystyle f^{\prime\prime}(g(x))(g^{\prime}(x))^2+f^{\prime}(g(x))g^{\prime\prime}(x)=0를 얻는다. 여기에 x=β\displaystyle x=\beta를 대입하면 g′′(β)=−f′′(β)\displaystyle g^{\prime\prime}(\beta)=-f^{\prime\prime}(\beta)를 얻을 수 있다. 한편 h′′(β)=−294\displaystyle h^{\prime\prime}(\beta)=-2^{\frac94}이므로,−294=h′′(β)={1+(g′(β))4}−34(g′(β))3g′′(β)−{1+(f′(β))4}−34(f′(β))3f′′(β)=−2×2−34f′′(β)\displaystyle -2^{\frac94}=h^{\prime\prime}(\beta)=\{1+(g^{\prime}(\beta))^4\}^{-\frac34}(g^{\prime}(\beta))^3g^{\prime\prime}(\beta)-\{1+(f^{\prime}(\beta))^4\}^{-\frac34}(f^{\prime}(\beta))^3f^{\prime\prime}(\beta)=-2\times2^{-\frac34}f^{\prime\prime}(\beta)임을 알 수 있다. 이로부터 f′′(β)=4\displaystyle f^{\prime\prime}(\beta)=4를 얻는다.

+10점 · g′(t)≤{1+(g′(t))4}14≤1+g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)\le\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\le1+g^{\prime}(t)를 유도하면

【2-3】위에서 구한 식 h(x)=∫f(x)x{1+(g′(t))4}14 dt\displaystyle h(x)=\int_{f(x)}^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt를 이용하자. 임의의 실수 t\displaystyle t에 대해 g′(t)>0\displaystyle g^{\prime}(t)>0이므로,(g′(t))4≤1+(g′(t))4≤(1+g′(t))4\displaystyle (g^{\prime}(t))^4\le1+(g^{\prime}(t))^4\le(1+g^{\prime}(t))^4가 성립한다.따라서 임의의 실수 t\displaystyle t에 대해 g′(t)≤{1+(g′(t))4}14≤1+g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)\le\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\le1+g^{\prime}(t)가 성립하고, 이로부터 x≥f(x)\displaystyle x\ge f(x)인 경우∫f(x)xg′(t) dt≤h(x)=∫f(x)x{1+(g′(t))4}14 dt≤∫f(x)x(1+g′(t)) dt\displaystyle \int_{f(x)}^x g^{\prime}(t)\,dt\le h(x)=\int_{f(x)}^x\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt\le\int_{f(x)}^x(1+g^{\prime}(t))\,dt이다. 한편,∫f(x)xg′(t) dt=g(x)−g(f(x))=g(x)−x\displaystyle \int_{f(x)}^x g^{\prime}(t)\,dt=g(x)-g(f(x))=g(x)-x∫f(x)x(1+g′(t)) dt=(x−f(x))+(g(x)−g(f(x)))=g(x)−f(x)\displaystyle \int_{f(x)}^x(1+g^{\prime}(t))\,dt=(x-f(x))+(g(x)-g(f(x)))=g(x)-f(x)이므로, 부등식0≤h(x)−g(x)+x≤x−f(x)⋯ (∗)\displaystyle 0\le h(x)-g(x)+x\le x-f(x)\quad\cdots\ (*)가 성립한다. x<f(x)\displaystyle x<f(x)인 경우는−∫xf(x)(1+g′(t)) dt≤h(x)=−∫xf(x){1+(g′(t))4}14 dt≤−∫xf(x)g′(t) dt\displaystyle -\int_x^{f(x)}(1+g^{\prime}(t))\,dt\le h(x)=-\int_x^{f(x)}\{1+(g^{\prime}(t))^4\}^{\frac14}\,dt\le-\int_x^{f(x)}g^{\prime}(t)\,dt로부터, 부등식x−f(x)≤h(x)−g(x)+x≤0⋯ (∗∗)\displaystyle x-f(x)\le h(x)-g(x)+x\le0\quad\cdots\ (**)가 성립한다.

+10점 · 0≤∣h(x)−g(x)+x∣≤∣x−f(x)∣\displaystyle 0\le|h(x)-g(x)+x|\le|x-f(x)|를 유도하면

그러므로, 부등식 (*), (**)로부터 임의의 양의 실수 x\displaystyle x에 대해0≤∣h(x)x−g(x)x+1∣≤∣1−f(x)x∣\displaystyle 0\le\left|\dfrac{h(x)}x-\dfrac{g(x)}x+1\right|\le\left|1-\dfrac{f(x)}x\right|를 얻고, 문제 조건의 lim⁡x→∞f(x)x=1\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=1로부터 lim⁡x→∞(h(x)x−g(x)x+1)=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{h(x)}x-\dfrac{g(x)}x+1\right)=0임을 알 수 있다.

+20점 · lim⁡x→∞h(x)x=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{h(x)}x=0임을 보이면

한편, lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞f(x)xx=∞\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x x=\infty를 이용하면 lim⁡x→∞g(x)x=lim⁡s→∞sf(s)=1\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{g(x)}x=\lim_{s\to\infty}\dfrac s{f(s)}=1이므로,lim⁡x→∞h(x)x=lim⁡x→∞(g(x)x−1)=0\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{h(x)}x=\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{g(x)}x-1\right)=0임을 알 수 있다.

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