자연계열 I 3번

【3-1】 $\displaystyle n=1$인 경우, $\displaystyle a_1=1=\left(\dfrac12\right)^0=\displaystyle\sum_{i=1}^1\left(\dfrac12\right)^{i-1}$이 성립한다. $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle a_{2k-1}=\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(\dfrac12\right)^{i-1}$라 가정하자.

수열의 규칙으로부터 $\displaystyle a_{2(k+1)-1}=a_{2k+1}=\dfrac12a_{2k}=\dfrac12(a_{2k-1}+2)=\dfrac12a_{2k-1}+1$을 찾을 수 있으며, 가정에 의해 $\displaystyle \dfrac12a_{2k-1}+1=\dfrac12\left(\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(\dfrac12\right)^{i-1}\right)+1=\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}\left(\dfrac12\right)^{i-1}$이 되어 $\displaystyle n=k+1$인 경우에도 성립한다. 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle a_{2n-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac12\right)^{k-1}$은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.

【3-2】 점 $\displaystyle P_n$에서 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발을 각각 점 $\displaystyle C_n(\alpha_n,0)$, 점 $\displaystyle D_n(\beta_n,0)$이라 하자. $\displaystyle \beta_n=b_n(\alpha_n)^n$이므로 사각형 $\displaystyle OC_nP_nD_n$의 넓이는 $\displaystyle \alpha_n\beta_n=b_n(\alpha_n)^{n+1}$이다.$\displaystyle\int_0^{\alpha_n}b_nx^n\,dx=\dfrac1{n+1}b_n(\alpha_n)^{n+1}$이므로 곡선 $\displaystyle y=b_nx^n$과 $\displaystyle x$축 및 선분 $\displaystyle P_nC_n$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 사각형 $\displaystyle OC_nP_nD_n$ 넓이의 $\displaystyle \dfrac1{n+1}$이다.

즉, 삼각형 $\displaystyle C_nA_nP_n$과 삼각형 $\displaystyle D_nP_nB_n$의 넓이의 비는 $\displaystyle 1:n$이 되어야한다. 두 삼각형은 닮음이므로 닮음비는 $\displaystyle 1:\sqrt n$이고, $\displaystyle \alpha_n=\dfrac{\sqrt n}{1+\sqrt n}a_{2n-1}$, $\displaystyle \beta_n=\dfrac1{1+\sqrt n}a_{2n}$이다.

$\displaystyle \beta_n=b_n(\alpha_n)^n$이므로 $\displaystyle b_n=\dfrac{(1+\sqrt n)^{n-1}}{(\sqrt n)^n}\dfrac{a_{2n}}{(a_{2n-1})^n}$이고, $\displaystyle c_n=\dfrac{(1+\sqrt n)^{n-1}}{(\sqrt n)^n}$이다.

(사각형 $\displaystyle A_8A_9B_9B_8$의 넓이) = (삼각형 $\displaystyle OA_9B_9$의 넓이) - (삼각형 $\displaystyle OA_8B_8$의 넓이) $\displaystyle =-\dfrac{3(a+2)(a-2)}8$이므로 사각형 $\displaystyle A_8A_9P_9Q$의 넓이는 $\displaystyle -\dfrac{3(a+2)(a-2)}{16}$이다.

한편, (사각형 $\displaystyle A_8A_9P_9Q$의 넓이) = (삼각형 $\displaystyle H_3A_9P_9$의 넓이) + (사각형 $\displaystyle H_1H_3P_9Q$의 넓이) - (삼각형 $\displaystyle H_1A_8Q$의 넓이) 이므로 $\displaystyle -\dfrac{3(a+2)(a-2)}{32}=-\dfrac{(a-2)(2a+3)}{8a}q$을 얻을 수 있다.

즉, 점 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \dfrac{3a(a+2)}{4(2a+3)}$이다. $\displaystyle a=\displaystyle\sum_{i=1}^8\left(\dfrac12\right)^{i-1}=2-\left(\dfrac12\right)^7$이므로 $\displaystyle \dfrac{3a(a+2)}{4(2a+3)}=\dfrac{130305}{152576}$이다.