자연계열 I 3번

경북대 2022학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2022mo/jayeon1_3

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle \mathrm B(x_2,y_2)$ 에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle m:n\ (m>0,n>0)$ 으로 내분하는 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$

(나) 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 을 지나고 기울기가 $\displaystyle m$ 인 직선의 방정식은 $\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

(다) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(i) $\displaystyle n=1$ 일 때 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.(ii) $\displaystyle n=k$ 일 때 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle n=k+1$ 일 때도 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(x)\ge0$ 일 때, 정적분 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

수열 $\displaystyle {a_n}$ 이 $\displaystyle a_1=1,\quad a_{n+1}=\begin{cases}a_n+2&(n\text{이 홀수인 경우})\\\dfrac12a_n&(n\text{이 짝수인 경우})\end{cases}\quad(n=1,2,3,\cdots)$ 으로 정의될 때, 좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm O(0,0)$ , $\displaystyle \mathrm A_n(a_{2n-1},0)$ , $\displaystyle \mathrm B_n(0,a_{2n})$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_n\mathrm B_n$ 의 넓이를 $\displaystyle S(n)$ 이라 하자.자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=b_nx^n$ 과 선분 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm P_n$ 이라 하자. 곡선 $\displaystyle y=b_nx^n$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 선분 $\displaystyle \mathrm P_n\mathrm A_n$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle \dfrac1{n+1}S(n)$ 일 때, 다음 물음에 답하시오. 단, $\displaystyle b_n>0$ 이다.

【3-1】 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{2n-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac12\right)^{k-1}$ 이 성립함을 (다)를 이용하여 증명하시오. (30점)

【3-2】 $\displaystyle b_n=c_n\dfrac{a_{2n}}{(a_{2n-1})^n}$ 을 만족시키는 $\displaystyle c_n$ 을 구하시오. (50점)

【3-3】 선분 $\displaystyle \mathrm A_8\mathrm B_8$ 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm Q$ 에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm Q\mathrm P_9$ 가 사각형 $\displaystyle \mathrm A_8\mathrm A_9\mathrm B_9\mathrm B_8$ 의 넓이를 이등분할 때, 점 $\displaystyle \mathrm Q$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

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+10점 ·

\displaystyle n=1

인 경우,

\displaystyle a_1=1=\left(\dfrac12\right)^0=\displaystyle\sum_{i=1}^1\left(\dfrac12\right)^{i-1}

이 성립함을 보이면

【3-1】 $\displaystyle n=1$ 인 경우, $\displaystyle a_1=1=\left(\dfrac12\right)^0=\displaystyle\sum_{i=1}^1\left(\dfrac12\right)^{i-1}$ 이 성립한다.

+10점 ·

\displaystyle n=k

일 때

\displaystyle a_{2k-1}=\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(\dfrac12\right)^{i-1}

라 가정하면

$\displaystyle n=k$ 일 때 $\displaystyle a_{2k-1}=\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(\dfrac12\right)^{i-1}$ 라 가정하자.

+10점 ·

\displaystyle n=k+1

인 경우에도 성립함을 보이면

수열의 규칙으로부터 $\displaystyle a_{2(k+1)-1}=a_{2k+1}=\dfrac12a_{2k}=\dfrac12(a_{2k-1}+2)=\dfrac12a_{2k-1}+1$ 을 찾을 수 있으며, 가정에 의해 $\displaystyle \dfrac12a_{2k-1}+1=\dfrac12\left(\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(\dfrac12\right)^{i-1}\right)+1=\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}\left(\dfrac12\right)^{i-1}$ 이 되어 $\displaystyle n=k+1$ 인 경우에도 성립한다. 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle a_{2n-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac12\right)^{k-1}$ 은 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립한다.

+20점 ·

\displaystyle\int_0^{\alpha_n}b_nx^n\,dx=\dfrac1{n+1}b_n(\alpha_n)^{n+1}

이므로 곡선

\displaystyle y=b_nx^n

과

\displaystyle x

축 및 선분

\displaystyle P_nC_n

으로 둘러싸인 영역의 넓이는 사각형

\displaystyle OC_nP_nD_n

넓이의

\displaystyle \dfrac1{n+1}

임을 보이면

【3-2】 점 $\displaystyle P_n$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 점 $\displaystyle C_n(\alpha_n,0)$ , 점 $\displaystyle D_n(\beta_n,0)$ 이라 하자. $\displaystyle \beta_n=b_n(\alpha_n)^n$ 이므로 사각형 $\displaystyle OC_nP_nD_n$ 의 넓이는 $\displaystyle \alpha_n\beta_n=b_n(\alpha_n)^{n+1}$ 이다.Correction. 3-2 예시답안에서 $\displaystyle D_n(\beta_n,0)$ 은 $\displaystyle D_n(0,\beta_n)$ 의 오기이다. $\displaystyle D_n$ 은 점 $\displaystyle P_n(\alpha_n,\beta_n)$ 에서 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발이므로 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 0$ 이고 $\displaystyle y$ 좌표가 $\displaystyle \beta_n$ 이다. 뒤의 직사각형 넓이 $\displaystyle \alpha_n\beta_n$ 도 이 좌표에 따른 계산이다. 원문 표기는 그대로 실었다. $\displaystyle\int_0^{\alpha_n}b_nx^n\,dx=\dfrac1{n+1}b_n(\alpha_n)^{n+1}$ 이므로 곡선 $\displaystyle y=b_nx^n$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 선분 $\displaystyle P_nC_n$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이는 사각형 $\displaystyle OC_nP_nD_n$ 넓이의 $\displaystyle \dfrac1{n+1}$ 이다.

+10점 · 삼각형

\displaystyle C_nA_nD_n

과 삼각형

\displaystyle D_nP_nB_n

의 넓이의 비가

\displaystyle 1:n

임을 보이면

즉, 삼각형 $\displaystyle C_nA_nP_n$ 과 삼각형 $\displaystyle D_nP_nB_n$ 의 넓이의 비는 $\displaystyle 1:n$ 이 되어야한다. 두 삼각형은 닮음이므로 닮음비는 $\displaystyle 1:\sqrt n$ 이고, $\displaystyle \alpha_n=\dfrac{\sqrt n}{1+\sqrt n}a_{2n-1}$ , $\displaystyle \beta_n=\dfrac1{1+\sqrt n}a_{2n}$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle c_n=\dfrac{(1+\sqrt n)^{n-1}}{(\sqrt n)^n}

을 구하면

$\displaystyle \beta_n=b_n(\alpha_n)^n$ 이므로 $\displaystyle b_n=\dfrac{(1+\sqrt n)^{n-1}}{(\sqrt n)^n}\dfrac{a_{2n}}{(a_{2n-1})^n}$ 이고, $\displaystyle c_n=\dfrac{(1+\sqrt n)^{n-1}}{(\sqrt n)^n}$ 이다.

【3-3】 점 $\displaystyle A_8$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle a$ 라 하면 수열의 규칙성에 의해 $\displaystyle B_8(0,a+2)$ , $\displaystyle A_9\left(\dfrac12a+1,0\right)$ , $\displaystyle B_9\left(0,\dfrac12a+3\right)$ 을 구할 수 있다. 점 $\displaystyle P_9$ 는 선분 $\displaystyle A_9B_9$ 를 $\displaystyle 1:3$ 으로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \left(\dfrac38a+\dfrac34,\dfrac18a+\dfrac34\right)$ 이다. 점 $\displaystyle Q$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle q$ 라하고, $\displaystyle Q$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle H_1$ , $\displaystyle H_2$ 라하자. 점 $\displaystyle P_9$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H_3$ 라 하자.두 점 $\displaystyle A_8$ 과 $\displaystyle B_8$ 을 지나는 직선의 방정식이 $\displaystyle y=-\dfrac{a+2}a x+a+2$ 이므로, $\displaystyle Q\left(q,-\dfrac{a+2}a q+a+2\right)$ , $\displaystyle H_1(q,0)$ , $\displaystyle H_2\left(0,-\dfrac{a+2}a q+a+2\right)$ 임을 알 수 있다.

+20점 · 사각형

\displaystyle A_8A_9P_9Q

의 넓이는

\displaystyle -\dfrac{3(a+2)(a-2)}{16}

임을 구하면

(사각형 $\displaystyle A_8A_9B_9B_8$ 의 넓이) = (삼각형 $\displaystyle OA_9B_9$ 의 넓이) - (삼각형 $\displaystyle OA_8B_8$ 의 넓이) $\displaystyle =-\dfrac{3(a+2)(a-2)}8$ 이므로 사각형 $\displaystyle A_8A_9P_9Q$ 의 넓이는 $\displaystyle -\dfrac{3(a+2)(a-2)}{16}$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle -\dfrac{3(a+2)(a-2)}{32}=-\dfrac{(a-2)(2a+3)}{8a}q

임을 구하면

한편, (사각형 $\displaystyle A_8A_9P_9Q$ 의 넓이) = (삼각형 $\displaystyle H_3A_9P_9$ 의 넓이) + (사각형 $\displaystyle H_1H_3P_9Q$ 의 넓이) - (삼각형 $\displaystyle H_1A_8Q$ 의 넓이) 이므로 $\displaystyle -\dfrac{3(a+2)(a-2)}{32}=-\dfrac{(a-2)(2a+3)}{8a}q$ 을 얻을 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle Q

의

\displaystyle x

좌표가

\displaystyle \dfrac{130305}{152576}

임을 보이면

즉, 점 $\displaystyle Q$ 의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle \dfrac{3a(a+2)}{4(2a+3)}$ 이다. $\displaystyle a=\displaystyle\sum_{i=1}^8\left(\dfrac12\right)^{i-1}=2-\left(\dfrac12\right)^7$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{3a(a+2)}{4(2a+3)}=\dfrac{130305}{152576}$ 이다.

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