수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 2번

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경북대 2022학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon2_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 위의 점 (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)에서의 접선의 방정식은y−y0=2x0(x−x0)\displaystyle y-y_0=2x_0(x-x_0)

(나)tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

(다) 수렴하는 두 수열 an\displaystyle {a_n}, bn\displaystyle {b_n}에 대하여lim⁡n→∞an=α,lim⁡n→∞bn=β(α,β는 실수)\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\quad(\alpha,\beta\text{는 실수})일 때,(a) 수열 cn\displaystyle {c_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha(b) lim⁡n→∞(an+bn)=α+β\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta, lim⁡n→∞(an−bn)=α−β\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\alpha-\beta(c) lim⁡n→∞anbn=αβ\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta, lim⁡n→∞anbn=αβ\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac\alpha\beta (단, bn≠0,β≠0\displaystyle b_n\ne0,\beta\ne0)

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

수열 an\displaystyle {a_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(1) 0<an<an+1\displaystyle 0<a_n<a_{n+1}

(2) 점 An(an,an2)\displaystyle \mathrm A_n(a_n,a_n^2)은 곡선 P:y=x2\displaystyle P:y=x^2 위의 점이다.

(3) 곡선 P\displaystyle P 위의 점 An+1\displaystyle \mathrm A_{n+1}에서의 접선이 두 직선 AnAn+1\displaystyle \mathrm A_n\mathrm A_{n+1}, An+1An+2\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm A_{n+2}와 이루는 예각의 크기가 서로 같다.

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여rn=an+1an,sn=an+2−an+1an+1−an\displaystyle r_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n},\quad s_n=\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}이라 하자.

【2-1】 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 등식an+2=4an+13+qan+1−an1+panan+1\displaystyle a_{n+2}=\dfrac{4a_{n+1}^3+qa_{n+1}-a_n}{1+pa_na_{n+1}}이 항상 성립할 때, 실수 p\displaystyle p와 q\displaystyle q의 값을 각각 구하시오. (30점)

【2-2】 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 sn>1\displaystyle s_n>1이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 lim⁡n→∞1an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{a_n}=0이 성립함을 증명하시오. (30점)

【2-3】 lim⁡n→∞(rn−sn)=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}(r_n-s_n)=0이 성립함을 증명하시오. (20점)

【2-4】 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 An\displaystyle \mathrm A_n에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 Hn\displaystyle \mathrm H_n이라 하자. 사각형 AnHnHn+1An+1\displaystyle \mathrm A_n\mathrm H_n\mathrm H_{n+1}\mathrm A_{n+1}에서 곡선 P\displaystyle P에 의해 나누어진 영역 중 윗부분의 넓이를 Un\displaystyle U_n, 아랫부분의 넓이를 Dn\displaystyle D_n이라 하자. lim⁡n→∞sn=3\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=3일 때, lim⁡n→∞UnDn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{U_n}{D_n}의 값을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon2_2

+5점 · 직선 AnAn+1\displaystyle \mathrm A_n\mathrm A_{n+1}과 An+1An+2\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm A_{n+2}, 그리고 An+1\displaystyle \mathrm A_{n+1}에서 접선의 기울기를 구했으면

【2-1】 직선 AnAn+1\displaystyle \mathrm A_n\mathrm A_{n+1}의 기울기를 tan⁡αn\displaystyle \tan\alpha_n이라 하고 P:y=x2\displaystyle P:y=x^2 위의 점 An+1\displaystyle \mathrm A_{n+1}에서의 접선의 기울기를 tan⁡βn+1\displaystyle \tan\beta_{n+1}이라 하자. (단, 0<αn,βn+1<π2\displaystyle 0<\alpha_n,\beta_{n+1}<\dfrac\pi2) tan⁡αn=an+1+an\displaystyle \tan\alpha_n=a_{n+1}+a_n이고, 제시문 (가)에 의해 tan⁡βn+1=2an+1\displaystyle \tan\beta_{n+1}=2a_{n+1}.

+10점 · 위 직선들이 이루는 예각에 대해 삼각함수(tan)의 합 또는 차를 이용하여 관계를 표현했으면

조건 (3)에 의해 αn+αn+1=2βn+1\displaystyle \alpha_n+\alpha_{n+1}=2\beta_{n+1}이므로 제시문 (나)에 의해tan⁡(αn+αn+1)=(an+1+an)+(an+2+an+1)1−(an+1+an)(an+2+an+1)=4an+11−4an+12=tan⁡2βn+1.\displaystyle \tan(\alpha_n+\alpha_{n+1})=\dfrac{(a_{n+1}+a_n)+(a_{n+2}+a_{n+1})}{1-(a_{n+1}+a_n)(a_{n+2}+a_{n+1})}=\dfrac{4a_{n+1}}{1-4a_{n+1}^2}=\tan2\beta_{n+1}.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 0\displaystyle 0이 아닌지 확인해야 한다: 예시답안에서 an+1=12\displaystyle a_{n+1}=\frac12이면 분모 1−4an+12\displaystyle 1-4a_{n+1}^2이 0\displaystyle 0이므로 탄젠트의 합 공식을 쓴 식은 정의되지 않는다. 접선과 두 현이 이루는 각에 탄젠트의 차 공식을 적용하면 이 경우도 포함하여 같은 점화식과 p=4\displaystyle p=4, q=2\displaystyle q=2를 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+15점 · an+2\displaystyle a_{n+2}를 an\displaystyle a_n과 an+1\displaystyle a_{n+1}로 올바르게 표현했으면

an+2\displaystyle a_{n+2}에 대하여 정리하면 an+2=4an+13+2an+1−an1+4anan+1\displaystyle a_{n+2}=\dfrac{4a_{n+1}^3+2a_{n+1}-a_n}{1+4a_na_{n+1}}이므로 p=4\displaystyle p=4, q=2\displaystyle q=2이다.

+5점 · Sn\displaystyle S_n을 변형하여 1+4an+121+4anan+1\displaystyle \dfrac{1+4a_{n+1}^2}{1+4a_na_{n+1}}을 얻었으면

【2-2】 sn=an+2−an+1an+1−an\displaystyle s_n=\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}에 an+2\displaystyle a_{n+2}에 【2-1】에서 구한 식을 대입하면, sn=1+4an+121+4anan+1\displaystyle s_n=\dfrac{1+4a_{n+1}^2}{1+4a_na_{n+1}}

+10점 · an<an+1\displaystyle a_n<a_{n+1}을 이용하여 Sn>1\displaystyle S_n>1을 증명하였으면

Correction. 2-2 채점기준의 첫 두 항목에 적힌 Sn\displaystyle S_n은 소문자 sn\displaystyle s_n의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이고 조건(1)에 의해 sn>1\displaystyle s_n>1이다.

+15점 · 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an+1>a1+n(a2−a1)\displaystyle a_{n+1}>a_1+n(a_2-a_1) (혹은 유사한 형태의 절대 부등식)을 증명하고, 이를 이용하여 1an→0\displaystyle \dfrac1{a_n}\to0임을 보였으면

Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 채점기준에서는 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an+1>a1+n(a2−a1)\displaystyle a_{n+1}>a_1+n(a_2-a_1)임을 보이도록 하였지만, n=1\displaystyle n=1을 대입하면 양변이 모두 a2\displaystyle a_2이다. 따라서 모든 자연수에 대한 식은 an+1≥a1+n(a2−a1)\displaystyle a_{n+1}\ge a_1+n(a_2-a_1)로 써야 한다. 수열의 초기항은 정상적으로 정의되어 있으며, 이 부등식으로도 lim⁡n→∞1an=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=0을 보일 수 있으므로 결론에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 an+2−an+1>an+1−an>⋯>a2−a1>0\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}>a_{n+1}-a_n>\cdots>a_2-a_1>0이다.d=a2−a1\displaystyle d=a_2-a_1이라 하면 an+2>an+1+d>⋯>a1+(n+1)d\displaystyle a_{n+2}>a_{n+1}+d>\cdots>a_1+(n+1)d이고 0<1an+2<1a1+(n+1)d\displaystyle 0<\dfrac1{a_{n+2}}<\dfrac1{a_1+(n+1)d}.제시문 (다)에 의해 lim⁡n→∞1an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{a_n}=0.

+10점 · rn−sn\displaystyle r_n-s_n을 변형하여 an+1−anan(1+4anan+1)\displaystyle \dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n(1+4a_na_{n+1})}을 얻었으면

【2-3】 rn−sn=an+12−anan+2an(an+1−an)=an+1−anan(1+4anan+1)\displaystyle r_n-s_n=\dfrac{a_{n+1}^2-a_na_{n+2}}{a_n(a_{n+1}-a_n)}=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n(1+4a_na_{n+1})}이다.

+10점 · 1an→0\displaystyle \dfrac1{a_n}\to0을 이용하여 극한값이 0\displaystyle 0임을 보였으면

분자와 분모를 anan+1\displaystyle a_na_{n+1}로 나누면 lim⁡n→∞1an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{a_n}=0이므로 제시문(다)에 의해 lim⁡n→∞(rn−sn)=lim⁡n→∞1an−1an+11an+1+4an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}(r_n-s_n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\frac1{a_n}-\frac1{a_{n+1}}}{\frac1{a_{n+1}}+4a_n}=0.

+10점 · 극한의 성질을 사용하여 lim⁡n→∞rn=3\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=3임을 보였으면

【2-4】 lim⁡n→∞(rn−sn)=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}(r_n-s_n)=0, lim⁡n→∞sn=3\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=3이므로, 제시문(다)에 의해 lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞rn=3\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}r_n=3.

+5점 · 주어진 영역을 올바르게 표현하였으면(그림, 설명 등)
+15점 · 윗부분의 넓이 Un\displaystyle U_n과 아랫부분의 넓이 Dn\displaystyle D_n을 계산하였으면

사각형 AnHnHn+1An+1\displaystyle \mathrm A_n\mathrm H_n\mathrm H_{n+1}\mathrm A_{n+1}의 넓이 Rn\displaystyle R_n, 곡선 P\displaystyle P의 아랫부분의 넓이 Dn\displaystyle D_n와 윗부분의 넓이 Un\displaystyle U_n은Rn=(an+12+an2)(an+1−an)2,Dn=∫anan+1x2 dx=an+13−an33,Un=Rn−Dn=(an+1−an)36\displaystyle R_n=\dfrac{(a_{n+1}^2+a_n^2)(a_{n+1}-a_n)}2,D_n=\displaystyle\int_{a_n}^{a_{n+1}}x^2\,dx=\dfrac{a_{n+1}^3-a_n^3}3,U_n=R_n-D_n=\dfrac{(a_{n+1}-a_n)^3}6이다.

+10점 · lim⁡n→∞rn=3\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=3과 극한의 성질을 사용하여 극한값 lim⁡n→∞UnDn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{U_n}{D_n}을 계산하였으면

lim⁡n→∞an+1an=3\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=3이므로 제시문(다)에 의해lim⁡n→∞UnDn=lim⁡n→∞(an+1−an)22(an+12+anan+1+an2)=(lim⁡n→∞an+1an−1)22((lim⁡n→∞an+1an)2+lim⁡n→∞an+1an+1)=213.\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{U_n}{D_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(a_{n+1}-a_n)^2}{2(a_{n+1}^2+a_na_{n+1}+a_n^2)}=\dfrac{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)^2}{2\left(\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}+1\right)}=\dfrac2{13}.

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