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자연계열 II 1번

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경북대 2022학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon2_1

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문제

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 함수 y=f(u),u=g(x)\displaystyle y=f(u),u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

(나) 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t=g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이고, 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, g(α)=a,g(β)=b\displaystyle g(\alpha)=a,g(\beta)=b이면∫abf(t) dt=∫αβf(g(x))g′(x) dx\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx

(다) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)에 대하여∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)\,dx

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(1) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 {f(x+14)}2+{f(x−14)}2=1\displaystyle \left\{f\left(x+\dfrac14\right)\right\}^2+\left\{f\left(x-\dfrac14\right)\right\}^2=1

(2) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)f(x+12)=3g(x)−16{g(x)}3\displaystyle f(x)f\left(x+\dfrac12\right)=3g(x)-16\{g(x)\}^3

(3) 열린구간 (−14,0)\displaystyle \left(-\dfrac14,0\right)에서 −12<g(x)<0\displaystyle -\dfrac12<g(x)<0

(4) f(512)=−22\displaystyle f\left(\dfrac5{12}\right)=-\dfrac{\sqrt2}2, g(0)=0\displaystyle g(0)=0

【1-1】 모든 정수 n\displaystyle n에 대하여 ∣f′(n)∣=∣f′(0)∣\displaystyle |f^{\prime}(n)|=|f^{\prime}(0)|이 성립함을 증명하시오. (단, f(0)≠0\displaystyle f(0)\ne0) (20점)

【1-2】 g(−112)\displaystyle g\left(-\dfrac1{12}\right)의 값을 구하시오. (30점)

【1-3】 ∫−1120f′(x)g(x)[f(x)−2{f(x)}3] dx=qp\displaystyle\int_{-\frac1{12}}^0 f^{\prime}(x)g(x)[f(x)-2\{f(x)\}^3]\,dx=\dfrac qp라 할 때, p+q\displaystyle p+q의 값을 구하시오. (단, p\displaystyle p와 q\displaystyle q는 서로소인 자연수) (60점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon2_1

+5점 · 조건을 이용하여 ∣f(n)∣=∣f(0)∣\displaystyle |f(n)|=|f(0)|임을 확인하면

【1-1】 조건 (1)로부터 f(x+1/2)2+f(x)2=1⇒f(x+1)2+f(x+1/2)2=1\displaystyle f(x+1/2)^2+f(x)^2=1\Rightarrow f(x+1)^2+f(x+1/2)^2=1이므로 f(x)2=f(x+1)2\displaystyle f(x)^2=f(x+1)^2이다. 그러므로 정수 n\displaystyle n에 대하여 ∣f(n)∣=∣f(0)∣≠0\displaystyle |f(n)|=|f(0)|\ne0이다.

+15점 · ∣f′(n)∣=∣f′(n+1)∣\displaystyle |f^{\prime}(n)|=|f^{\prime}(n+1)|임을 증명하면

한편, 2f(x)f′(x)=2f(x+1)f′(x+1)\displaystyle 2f(x)f^{\prime}(x)=2f(x+1)f^{\prime}(x+1)이므로∣f(n)∣ ∣f′(n)∣=∣f(n+1)∣ ∣f′(n+1)∣⇒∣f′(n)∣=∣f′(n+1)∣\displaystyle |f(n)|\ |f^{\prime}(n)|=|f(n+1)|\ |f^{\prime}(n+1)|\Rightarrow|f^{\prime}(n)|=|f^{\prime}(n+1)|.따라서, ∣f′(n)∣=∣f′(0)∣\displaystyle |f^{\prime}(n)|=|f^{\prime}(0)|

+20점 · 방정식 16a3−3a±1/2=0\displaystyle 16a^3-3a\pm1/2=0을 유도하면

【1-2】 g(−1/12)=a\displaystyle g(-1/12)=a. f(−1/12)f(5/12)=3a−16a3\displaystyle f(-1/12)f(5/12)=3a-16a^3이고f(−1/12)2+f(5/12)2=1⇒f(−1/12)=±2/2\displaystyle f(-1/12)^2+f(5/12)^2=1\Rightarrow f(-1/12)=\pm\sqrt2/2이므로 16a3−3a±1/2=0\displaystyle 16a^3-3a\pm1/2=0이다.

+10점 · a\displaystyle a의 값을 구하면

조건 (3)에 의해 a=−1/4\displaystyle a=-1/4이다.

+40점 · 부분적분법을 활용하여 구하는 정적분을 −g(−1/12)h(−1/12)−1/2∫−1/40(3u−16u3)2 du\displaystyle -g(-1/12)h(-1/12)-1/2\displaystyle\int_{-1/4}^0(3u-16u^3)^2\,du으로 표현하면

【1-3】 h(x)=1/2f(x)2−1/2f(x)4=1/2f(x)2f(x+1/2)2\displaystyle h(x)=1/2f(x)^2-1/2f(x)^4=1/2f(x)^2f(x+1/2)^2 (조건 (1)).준적분=∫−1/120g(x)h′(x) dx=[g(x)h(x)]−1/120−∫−1/120g′(x)h(x) dx=−g(−1/12)h(−1/12)−1/2∫−1/120(f(x)f(x+1/2))2g′(x) dx=−g(−1/12)h(−1/12)−1/2∫−1/120(3g(x)−16g(x)3)2g′(x) dx=−g(−1/12)h(−1/12)−1/2∫−1/40(3u−16u3)2 du\displaystyle \begin{aligned}{}&=\int_{-1/12}^0g(x)h^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[g(x)h(x)\Biggr]_{-1/12}^0-\int_{-1/12}^0g^{\prime}(x)h(x)\,dx\\&=-g(-1/12)h(-1/12)-1/2\int_{-1/12}^0(f(x)f(x+1/2))^2g^{\prime}(x)\,dx\\&=-g(-1/12)h(-1/12)-1/2\int_{-1/12}^0(3g(x)-16g(x)^3)^2g^{\prime}(x)\,dx\\&=-g(-1/12)h(-1/12)-1/2\int_{-1/4}^0(3u-16u^3)^2\,du\end{aligned}

+15점 · 정적분의 값을 유리수 qp\displaystyle \dfrac qp로 표현하면

=1/32−1/2×17/560=9/560\displaystyle =1/32-1/2\times17/560=9/560

+5점 · p+q\displaystyle p+q의 값을 구하면

p+q=569\displaystyle p+q=569.

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