수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 1번

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경북대 2022학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon1_1

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[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 사이의 거리 d\displaystyle d는d=∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(나) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 직선 ℓ\displaystyle \ell 사이의 거리는 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 임의의 점과 직선 ℓ\displaystyle \ell 사이의 거리 중 최솟값이다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

(라) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x),y=g(x)\displaystyle y=f(x),y=g(x)와 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

모든 실수 c\displaystyle c에 대하여 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 위의 점 (c,c2)\displaystyle (c,c^2)에서의 접선을 ℓc\displaystyle \ell_c라 하자. 직선 ℓc\displaystyle \ell_c와 곡선 y=−x2+4x−3\displaystyle y=-x^2+4x-3이 만나지 않도록 하는 모든 실수 c\displaystyle c의 값의 범위는 α<c<β\displaystyle \alpha<c<\beta이다.

【1-1】 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 값을 각각 구하시오. (30점)

【1-2】 α<c<β\displaystyle \alpha<c<\beta인 실수 c\displaystyle c에 대하여 곡선 y=−x2+4x−3\displaystyle y=-x^2+4x-3과 직선 ℓc\displaystyle \ell_c 사이의 거리를 f(c)\displaystyle f(c)라 할 때, f(c)\displaystyle f(c)를 구하시오. (30점)

【1-3】 두 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2, y=−x2+4x−3\displaystyle y=-x^2+4x-3과 두 직선 x=α\displaystyle x=\alpha, x=β\displaystyle x=\beta로 둘러싸인 영역 중 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 위를 움직이는 점 (c,c2)\displaystyle (c,c^2) (α≤c≤β\displaystyle \alpha\le c\le\beta)에서의 접선 ℓc\displaystyle \ell_c가 지나는 모든 점의 집합을 S\displaystyle S라 하자. 집합 S\displaystyle S가 나타내는 도형의 넓이를 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon1_1

+10점 · 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 위의 점 (c,c2)\displaystyle (c,c^2)에서의 접선의 방정식 y=2cx−c2\displaystyle y=2cx-c^2을 구하면

【1-1】 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 위의 점 (c,c2)\displaystyle (c,c^2)에서의 접선의 방정식은 y=2cx−c2\displaystyle y=2cx-c^2이다.

+10점 · D4=(c−2)2−(−c2+3)<0\displaystyle \dfrac D4=(c-2)^2-(-c^2+3)<0을 구하면

직선 y=2cx−c2\displaystyle y=2cx-c^2과 곡선 y=−x2+4x−3\displaystyle y=-x^2+4x-3가 만나지 않을 조건은 이차방정식 2cx−c2=−x2+4x−3\displaystyle 2cx-c^2=-x^2+4x-3의 해가 존재하지 않을 조건과 같다. D4=(c−2)2−(−c2+3)<0\displaystyle \dfrac D4=(c-2)^2-(-c^2+3)<0이므로

+10점 · α=2−22\displaystyle \alpha=\dfrac{2-\sqrt2}2, β=2+22\displaystyle \beta=\dfrac{2+\sqrt2}2를 구하면

α=2−22<c<2+22=β\displaystyle \alpha=\dfrac{2-\sqrt2}2<c<\dfrac{2+\sqrt2}2=\beta이다.

+15점 · (b,−b2+4b−3)=(2−c,−c2+1)\displaystyle (b,-b^2+4b-3)=(2-c,-c^2+1)일 때 최솟값을 가진다는 것을 구하면

【1-2】 곡선 y=−x2+4x−3\displaystyle y=-x^2+4x-3 위의 점 (b,−b2+4b−3)\displaystyle (b,-b^2+4b-3)에서 접선 y=2cx−c2\displaystyle y=2cx-c^2까지의 거리 중 최솟값은 점 (b,−b2+4b−3)\displaystyle (b,-b^2+4b-3)에서의 접선의 기울기가 2c\displaystyle 2c일 때이므로 −2b+4=2c\displaystyle -2b+4=2c이고, b=2−c\displaystyle b=2-c이다. (b,−b2+4b−3)=(2−c,−c2+1)\displaystyle (b,-b^2+4b-3)=(2-c,-c^2+1)이므로

+15점 · f(c)=−2c2+4c−14c2+1\displaystyle f(c)=\dfrac{-2c^2+4c-1}{\sqrt{4c^2+1}}를 구하면

f(c)=−2c2+4c−14c2+1\displaystyle f(c)=\dfrac{-2c^2+4c-1}{\sqrt{4c^2+1}}이다.

+20점 · S\displaystyle S가 나타내는 도형을 구하면

【1-3】 S\displaystyle S가 나타내는 도형은 [그림1]과 같다. 따라서 넓이 A\displaystyle A는

두 끝점의 접선과 포물선 사이에 음영으로 표시한 접선 통과 영역 S
[그림 1]
+20점 · 넓이가 ∫αβ{x2−(2βx−β2)} dx+14(β−α)3\displaystyle\int_\alpha^\beta\{x^2-(2\beta x-\beta^2)\}\,dx+\dfrac14(\beta-\alpha)^3임을 구하면
+10점 · 넓이가 762\displaystyle \dfrac76\sqrt2임을 구하면

A=∫αβ{x2−(2βx−β2)} dx+14(β−α)3=∫αβ(x−β)2 dx+14(β−α)3=−13(α−β)3+14(β−α)3=762.\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_\alpha^\beta\{x^2-(2\beta x-\beta^2)\}\,dx+\dfrac14(\beta-\alpha)^3\\&=\int_\alpha^\beta(x-\beta)^2\,dx+\dfrac14(\beta-\alpha)^3\\&=-\dfrac13(\alpha-\beta)^3+\dfrac14(\beta-\alpha)^3=\dfrac76\sqrt2.\end{aligned}

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