자연계열 I 1번

【1-1】 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle (c,c^2)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2cx-c^2$이다. 직선 $\displaystyle y=2cx-c^2$과 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x-3$가 만나지 않을 조건은 이차방정식 $\displaystyle 2cx-c^2=-x^2+4x-3$의 해가 존재하지 않을 조건과 같다. $\displaystyle \dfrac D4=(c-2)^2-(-c^2+3)<0$이므로$\displaystyle \alpha=\dfrac{2-\sqrt2}2<c<\dfrac{2+\sqrt2}2=\beta$이다.

【1-2】 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x-3$ 위의 점 $\displaystyle (b,-b^2+4b-3)$에서 접선 $\displaystyle y=2cx-c^2$까지의 거리 중 최솟값은 점 $\displaystyle (b,-b^2+4b-3)$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle 2c$일 때이므로 $\displaystyle -2b+4=2c$이고, $\displaystyle b=2-c$이다. $\displaystyle (b,-b^2+4b-3)=(2-c,-c^2+1)$이므로$\displaystyle f(c)=\dfrac{-2c^2+4c-1}{\sqrt{4c^2+1}}$이다.

【1-3】 $\displaystyle S$가 나타내는 도형은 [그림1]과 같다. 따라서 넓이 $\displaystyle A$는

$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_\alpha^\beta\{x^2-(2\beta x-\beta^2)\}\,dx+\dfrac14(\beta-\alpha)^3\\&=\int_\alpha^\beta(x-\beta)^2\,dx+\dfrac14(\beta-\alpha)^3\\&=-\dfrac13(\alpha-\beta)^3+\dfrac14(\beta-\alpha)^3=\dfrac76\sqrt2.\end{aligned}$