수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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문제

좌표 평면 위에 그림과 같은 별 모양의 닫힌 곡선 S\displaystyle S가 있다.

별 모양의 닫힌 곡선 S

집합 T\displaystyle T를

T={(1−t)P1+tP2∣P1,P2∈S 이고 t∈[0,1]}\displaystyle T=\{(1-t)P_1+tP_2\mid P_1,P_2\in S\text{ 이고 }t\in[0,1]\}

으로 정의했을 때, T\displaystyle T의 모양을 설명하시오.

해설강의 준비중

t∈[0,1]\displaystyle t\in[0,1]일 때, 점 (1−t)P1+tP2\displaystyle (1-t)P_1+tP_2는 점 P1\displaystyle P_1과 점 P2\displaystyle P_2를 연결하는 선분 상의 점이다. 따라서 집합 T\displaystyle T의 모양은 아래의 오각형 전체이다.(그림에서 색칠한 부분.)

별 모양 곡선 S를 포함하는 색칠된 오각형 전체

[힌트]

수험생에게 t\displaystyle t에 구체적인 값을, 예를 들어 t=0,1,12,…\displaystyle t=0,1,\frac12,\ldots 등, 대입하게 하여 t∈[0,1]\displaystyle t\in[0,1]일 때, 점 (1−t)P1+tP2\displaystyle (1-t)P_1+tP_2는 점 P1\displaystyle P_1과 점 P2\displaystyle P_2를 연결하는 선분 상의 점임을 수험생 스스로 유도하게한다.

1번은 2점 만점으로, 2번의 “가”는 1점 “나”는 2점 만점으로 계산합니다.

힌트 없이 풀면 만점을 주고, 힌트를 사용하여 풀면 1점씩 감점합니다.

A(5점), B(4점), C(3점), D(2점), E(1점 이하).

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