수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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건국대 2005학년도 정시 다군 수학교육과 면접 (오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2005je_am/jayeon_2

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문제

모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 정의된 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)가 있다.

가. 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 h(x)=f(ax+b)\displaystyle h(x)=f(ax+b)로 정의하자. f(x)\displaystyle f(x)가 미분가능할 때, h′(x)\displaystyle h^{\prime}(x)를 구하시오. (여기서, a,b\displaystyle a,b는 상수이고 h′(x)=lim⁡k→0h(x+k)−h(x)k\displaystyle h^{\prime}(x)=\lim_{k\to0}\frac{h(x+k)-h(x)}k이다.)

나. f(x)\displaystyle f(x)가 우함수라 하자. 함수 F(x)\displaystyle F(x)가 f(x)\displaystyle f(x)의 원시함수 또는 부정적분이고 F(0)=0\displaystyle F(0)=0일 때,

F(2005)+F(−2005)\displaystyle F(2005)+F(-2005)

의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

건국대 2005학년도 정시 다군 수학교육과 면접 (오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2005je_am/jayeon_2

가. h′(x)=af′(ax+b)\displaystyle h^{\prime}(x)=af^{\prime}(ax+b).

나. 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 h(x)=F(x)+F(−x)\displaystyle h(x)=F(x)+F(-x)라 하자. f(x)\displaystyle f(x)가 우함수이므로 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여

h′(x)=f(x)−f(−x)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=f(x)-f(-x)=0

이다. 따라서 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 상수 함수이다. 그런데 h(0)=F(0)+F(0)=0\displaystyle h(0)=F(0)+F(0)=0이므로 h(x)≡0\displaystyle h(x)\equiv0이다. 따라서 F(2005)+F(−2005)=h(2005)=0\displaystyle F(2005)+F(-2005)=h(2005)=0이다.

[힌트]

가. 힌트 없음.

나. 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 h(x)=F(x)+F(−x)\displaystyle h(x)=F(x)+F(-x)라고 하고 h′(x)\displaystyle h^{\prime}(x)를 계산하게 한다.

1번은 2점 만점으로, 2번의 “가”는 1점 “나”는 2점 만점으로 계산합니다.

힌트 없이 풀면 만점을 주고, 힌트를 사용하여 풀면 1점씩 감점합니다.

A(5점), B(4점), C(3점), D(2점), E(1점 이하).

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