자연계열 2-1번

결합에 의해 형성된 전자구름이 서로 반발하므로 H 원자끼리는 최대한 멀리 떨어져 있게 된다. 따라서 H 원자간 거리의 합이 더 큰 구조를 취하게 된다. 각 경우에서 H 원자간 거리의 합은 다음과 같다.

– 평면정사각형인 경우:

탄소 C와 네개의 수소 원자 H의 위치벡터를 각각 $\displaystyle G,A_1,A_2,A_3,A_4$ 라고 하자.$\displaystyle A_1,A_2,A_3,A_4$은 정사각형의 꼭지점에 위치하고 $\displaystyle G$ 는 정사각형의 내부의 중심점이 된다. 중심에서 각각의 수소원자까지의 거리가 $\displaystyle r$ 로 일정하므로각각의 수소원자 간의 거리의 합은 정사각형의 둘레의 길이와 두 배의 대각선 길이의 합과 같다. 대각선의 길이는 $\displaystyle 2r$ 이고 한 변의 길이는 $\displaystyle \sqrt2r$ 이므로구하는 길이의 합은 $\displaystyle 4r+4\sqrt2r=4(1+\sqrt2)r$ 된다.

– 정사면체인 경우:

위와 같은 방법으로 $\displaystyle A_1,A_2,A_3,A_4$ 을 정사면체의 꼭지점이라고 하고 $\displaystyle G$ 를 정사면체의 중심이라고 하면 $\displaystyle G=\frac14(A_1+A_2+A_3+A_4)$ 가 되고$\displaystyle \overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_2}+\overrightarrow{GA_3}+\overrightarrow{GA_4}=0,$$\displaystyle |\overrightarrow{GA_1}|=|\overrightarrow{GA_2}|=|\overrightarrow{GA_3}|=|\overrightarrow{GA_3}|=r$ 이다.Correction. 네 벡터의 길이를 나열한 등식의 마지막 $\displaystyle |\overrightarrow{GA_3}|$는 $\displaystyle |\overrightarrow{GA_4}|$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.두 벡터 $\displaystyle GA_1,GA_2$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라고 하면$\displaystyle \overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_2}=|\overrightarrow{GA_1}||\overrightarrow{GA_2}|\cos\theta=r^2\cos\theta$ 가 되고$\displaystyle \overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_2}=\overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_3}=\overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_4}=r^2\cos\theta$ 가 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{GA_1}\cdot(\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_2}+\overrightarrow{GA_3}+\overrightarrow{GA_4})&=\overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_2}+\overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_3}+\overrightarrow{GA_1}\cdot\overrightarrow{GA_4}\\&=|\overrightarrow{GA_1}|^2+3r^2\cos\theta=r^2+3r^2\cos\theta=0\end{aligned}$이므로 구하는 $\displaystyle \cos\theta=-\frac13$이 된다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ 의 길이는 코사인 법칙을 이용하여 구하면$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{A_1A_2}|^2&=|\overrightarrow{GA_1}|^2+|\overrightarrow{GA_2}|^2-2|\overrightarrow{GA_1}||\overrightarrow{GA_2}|\cos\theta\\&=r^2+r^2-2r^2\cos\theta=\frac83r^2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{A_1A_2}|=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}r$ 이 되고 정사면체의 꼭지점 간의 거리는 모두 같으므로 구하는 거리의 합은 $\displaystyle 6\times\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}r=4\sqrt6r$ 이다.

그런데 $\displaystyle \sqrt6>1+\sqrt2$이므로 정사면체 구조가 VSERP이론에 적합하다고 말할 수 있다.