자연계열 1번

건국대학교가 직접 배포한 보도자료 (2016학년도 모의논술 · 시험 전체 시간 100분)

건국대 2016학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2016mo/jayeon_1

제시문 1

다음은 건국이와 수학선생님의 대화를 옮긴 것이다.

건국이: 선생님, 탄젠트함수나 사인함수로 치환해서 정적분의 값을 구하는 경우, 그 피적분함수의 부정적분은 무엇인지 잘 모르겠어요. 예를 들어, 탄젠트함수로 치환해서 정적분의 값을 구하는 분수함수 $\displaystyle y=\frac1{1+x^2}$ 의 부정적분은 무엇인가요? $\displaystyle x=\tan\theta$ 로 치환하면 이 함수의 적분은 $\displaystyle \theta$ 만 남잖아요?선생님: 네, 맞아요. 문제는 $\displaystyle \theta$ 를 $\displaystyle x$ 에 대한 식으로 나타내는 것이지요.건국이: 음... 어떻게 나타내나요?선생님: 역함수를 한번 생각해 보세요.건국이: 아, $\displaystyle x=\tan\theta$ 이니까 $\displaystyle \theta$ 를 $\displaystyle x$ 에 대한 함수로 보면 탄젠트함수의 역함수가 되는 거군요.선생님: 그렇지요. 즉 분수함수 $\displaystyle y=\frac1{1+x^2}$ 의 부정적분은 탄젠트함수의 역함수란 말이지요.

[문제 1-1] (단답형) 정적분 $\displaystyle \int_{-\frac12}^{\frac12}\left(\frac1{1+4x^2}\right)dx$ 의 값을 구하여 답만 쓰시오.

[문제 1-2] (서술형) 정적분 $\displaystyle \int_0^1\frac1{\sqrt{4-x^2}}dx$ 의 값을 구하되, 풀이 과정도 함께 쓰시오.

해설강의 준비중

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[문제 1-1]

$\displaystyle 2x=t$ 로 치환하면 문제의 적분은 $\displaystyle \frac12\int_{-1}^1\left(\frac1{1+t^2}\right)dt$ 가 된다.

이때 $\displaystyle \tan\left(-\frac\pi4\right)=-1$ , $\displaystyle \tan\left(\frac\pi4\right)=1$ 이므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac12\left(\frac\pi4-\left(-\frac\pi4\right)\right)=\frac\pi4$

[문제 1-2]

$\displaystyle x=2\sin\theta$ 로 치환하면 $\displaystyle \int\frac1{\sqrt{4-x^2}}dx=\theta$ 인데,

$\displaystyle 0=2\sin0$ , $\displaystyle 1=2\sin\frac\pi6$ 이므로 구하는 적분값은 $\displaystyle \frac\pi6-0=\frac\pi6$ 이다.

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