자연계열 2번

[문제 2-1]

$\displaystyle \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$이므로 $\displaystyle x=\sin\theta$라고 하면 주어진 식은

$\displaystyle x=4x\sqrt{1-x^2}.$

이 방정식을 풀면 $\displaystyle x=0,\pm\frac{\sqrt{15}}4$인데, $\displaystyle 0<\theta<\pi$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{15}}4$이다.

[문제 2-2]

그림의 삼각형 $\displaystyle ABC$에서 $\displaystyle \overline{AB}=\overline{AC}$, $\displaystyle \overline{AD}=\overline{BD}=\overline{BC}=1$이고

$\displaystyle \angle ABC=\angle ACB=72^\circ$, $\displaystyle \angle BAC=\angle ABD=36^\circ$이다.

이등변 삼각형 $\displaystyle ABC$와 $\displaystyle BCD$가 닮은 삼각형이므로 $\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}$이다. $\displaystyle \overline{CD}=x$라 하면, $\displaystyle (1+x)x=1$이다.

이 방정식을 풀면, $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt5}2$이다.

그런데 $\displaystyle \overline{BC}=1$이므로 $\displaystyle \cos72^\circ=\frac12\overline{CD}=\frac{-1+\sqrt5}4$이다.

[문제 2-3]

풀이 ①

$\displaystyle d_1=\cos36^\circ$, $\displaystyle d_2=\cos72^\circ$이다. 앞의 풀이에서 $\displaystyle \cos72^\circ=\frac{-1+\sqrt5}4$이다.

반각공식을 사용하면 $\displaystyle \cos36^\circ=\frac{\sqrt5+1}4$이므로

$\displaystyle d_1-d_2=\cos36^\circ-\cos72^\circ=\frac{1+\sqrt5}4-\frac{\sqrt5-1}4=\frac12$