자연계열 1번

[문제 1-1] (답) $\displaystyle t>5$Caution. 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꾸어야 한다: 대학 답안의 $\displaystyle \frac{2t+2}{t-1}<3$을 풀 때 $\displaystyle 0<t<1$이면 $\displaystyle t-1<0$이므로 부등호의 방향을 바꾸어야 한다. 이때 $\displaystyle 2t+2>3(t-1)$, 즉 $\displaystyle t<5$가 되어 $\displaystyle 0<t<1$도 포함된다. 다만 이 범위에서 외분점은 원의 왼쪽 끝점이고, 오른쪽 끝점인 내분점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{2t-2}{t+1}$로 $\displaystyle -2$와 $\displaystyle 0$ 사이이다. 따라서 원 전체가 $\displaystyle x=3$의 왼쪽에 있어 두 자취가 만나지 않는다. $\displaystyle t>1$에서는 외분점이 오른쪽 끝점이므로 위 부등식에서 $\displaystyle t>5$를 얻는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: $\displaystyle \frac{2t+2}{t-1}$은 $\displaystyle t=1$에서 정의되지 않으므로 이 경우는 따로 확인해야 한다. $\displaystyle t=1$이면 $\displaystyle S_t$는 $\displaystyle A(-2,0)$, $\displaystyle B(2,0)$의 수직이등분선 $\displaystyle x=0$이고 $\displaystyle L$은 $\displaystyle x=3$이므로 두 자취는 만나지 않는다. 따라서 $\displaystyle t=1$도 포함해야 하며, 조건을 만족하는 전체 범위는 $\displaystyle 0<t\le1$ 또는 $\displaystyle t>5$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle L$은 선분 $\displaystyle BC$의 수직이등분선이므로 방정식이 $\displaystyle x=3$인 직선이다. 또, $\displaystyle t\ne1$이면, $\displaystyle S_t$는 두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$를 $\displaystyle t:1$로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원이다.

두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$를 $\displaystyle t:1$로 외분하는 점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac{2t+2}{t-1}$이므로 $\displaystyle S_t$와 $\displaystyle L$이 만나지 않으려면 $\displaystyle \frac{2t+2}{t-1}<3$이어야 한다. 이 부등식을 풀면 $\displaystyle t>5$이다.

[문제 1-2]

선분 $\displaystyle AB$를 $\displaystyle t:1$로 내분하는 점과 외분하는 점이 각각 $\displaystyle \left(\frac{2t-2}{t+1},0\right)$, $\displaystyle \left(\frac{2t+2}{t-1},0\right)$이므로 아폴로니오스 원 $\displaystyle S_t$의 중심의 좌표와 반지름의 길이는 각각 $\displaystyle \left(\frac{2(t^2+1)}{t^2-1},0\right)$, $\displaystyle \frac{4t}{t^2-1}$이다.

그러므로 주어진 직선이 원 $\displaystyle S_t$의 접선이 되기 위해서는 이 원의 중심에서 직선까지의 거리와 이 원의 반지름의 길이가 같아야 한다. 이 조건으로부터 2차 방정식 $\displaystyle 2t^2-\sqrt3t-3=0$을 얻는다. 이 2차방정식을 풀면, $\displaystyle t=\sqrt3$ 또는 $\displaystyle t=-\frac{\sqrt3}2$이다. $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle t=\sqrt3$이다. 따라서 $\displaystyle S_{\sqrt3}$의 넓이는 $\displaystyle \pi\left(\frac{4\sqrt3}{(\sqrt3)^2-1}\right)^2=12\pi$이다.Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: $\displaystyle 0<t<1$이면 $\displaystyle \frac{4t}{t^2-1}$이 음수가 되므로, 원의 반지름은 $\displaystyle \frac{4t}{|t^2-1|}$로 써야 한다. 대학 예시답안에서는 $\displaystyle 0<t<1$인 경우가 빠져 있다. 접선 조건을 풀면 $\displaystyle t=\sqrt3$ 또는 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}{2}$이므로 원의 넓이는 $\displaystyle 12\pi$ 또는 $\displaystyle 192\pi$이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.