자연계열 2번

[문제 2-1] (답) 1

$\displaystyle f(x)=x^3-3x+1$라 했을 때, $\displaystyle f$가 연속함수이고 $\displaystyle f(-2)=-1<0$, $\displaystyle f(0)=1>0$, $\displaystyle f(1)=-1<0$, $\displaystyle f(2)=3>0$이므로 사이값 정리에 따르면 삼차방정식 $\displaystyle x^3-3x+1=0$은 서로 다른 세 실근을 가질 뿐만 아니라 세 실근을 크기 순서로 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$라 하면 $\displaystyle 1<\alpha<2$, $\displaystyle 0<\beta<1$, $\displaystyle -2<\gamma<0$이다.

$\displaystyle \alpha$를 넘지 않는 가장 큰 정수는 1이다.

[문제 2-2]

삼차방정식 $\displaystyle x^3-3x+1=0$의 세 실근이 모두 $\displaystyle -2$와 2사이에 있으므로 각 실근은 $\displaystyle 2\sin\theta$ 꼴로 표시할 수 있다. 이를 방정식에 대입하면 $\displaystyle 8\sin^3\theta-6\sin\theta+1=0$을 얻는다. 사인의 3배각 공식 $\displaystyle \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ 이용하면 이 식은 $\displaystyle -2\sin3\theta+1=0$이 된다. 그러므로 $\displaystyle \sin3\theta=\frac12$이 되어 $\displaystyle 3\theta=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,-\frac{7\pi}6$이다. 따라서 주어진 삼차방정식의 세 실근은 $\displaystyle 2\sin\frac\pi{18},2\sin\frac{5\pi}{18},-2\sin\frac{7\pi}{18}$이다.

[문제 2-3]

삼차방정식 $\displaystyle x^3-3x+1=0$의 양의 실근 중 가장 작은 것 $\displaystyle \beta$는 0과 1사이에 있다. 차례로 $\displaystyle f\left(\frac12\right)<0$, $\displaystyle f\left(\frac14\right)>0$, $\displaystyle f\left(\frac38\right)<0$, $\displaystyle f\left(\frac5{16}\right)>0$을 확인하면 $\displaystyle \frac5{16}<\beta<\frac38$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \beta$의 값을 소수점 아래 첫 번째 자리까지 구하면 0.3이다.